НАЙТИ: S пол. пов. пирамиды ______________________________
РЕШЕНИЕ:
1) Линейным углом двугранного угла называется угол, образованный лучами с вершиной на ребре, и при этом лучи лежат на гранях двугранного угла и перпендикулярны ребру.
В основании правильной треугольной пирамиды лежит правильный треугольник, то есть ∆ АВС – равносторонний
В ∆ АВС опустим высоту АН на ВС В равностороннем треугольнике высота является и медианой, и биссектрисой → ВН = СН
отрезок SD ( высота пирамиды ) перпендикулярен плоскости основания ∆ АВС Если прямая перпендикулярна плоскости, то она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости → SD перпендикулярен АН АН перпендикулярен ВС Значит, SH перпендикулярен ВС по теореме о трёх перпендикулярах
Из этого следует, что угол SHА – линейный угол двугранного угла АВСS, то есть угол SHА = 45°
2) Рассмотрим ∆ SHD (угол SDH = 90°): Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике всегда равна 90° угол HSD = 90° - 45° = 45°
Значит, ∆ SHD – прямоугольный и равнобедренный , SD = DH = h
По теореме Пифагора: SH² = SD² + DH² SH² = h² + h² = 2h² SH = h√2
Как было сказано выше, высота, проведённая в равностороннем треугольнике, является и медианой, и биссектрисой Медианы любого треугольника пересекаются в одной точке и точкой пересечения делятся в отношении 2 : 1 , считая от вершины Следовательно, AD : DH = 2 : 1 → AD = 2 × DH = 2h AH = AD + DH = 2h + h = 3h
Сторона равностороннего треугольника вычисляется по формуле:
где а - сторона равностороннего треугольника, h - высота
BC = ( 2√3 × AH ) / 3 = ( 2√3 × 3h ) / 3 = 2√3h
S пол. пов. пирамиды = S осн. + S бок. пов.
В правильной треугольной пирамиде все боковые грани равны друг другу →
S пол. пов. пирамиды = S abc + 3 × S bcs
Площадь равностороннего треугольника вычисляется по формуле:
2) Итак у нас две медианы, каждая из них делится точкой пересечения в отношении 2:1 считая от вершины. Т.е. Каждую медиану разделили на три части, две части от вершины до точки пересечения и одна от точки пересечения до стороны МР=12; делим на три, получаем 12:3=4-одна часть, 4*2=8-две части, т.о. МО=8, ОР=4 NE=15; делим на три, получаем 15:3=5 -одна часть, 5*2=10 -две части, т.о. NО=10, ОЕ=5 Теперь треугольник МОЕ, он прямоугольный, с катетами 8 и 5 , площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов, т.е. 8*5:2=20
в 130 градусов
ответ верный мы в классе решали такое