Question

Нужна основанием четырёхугольной пирамиды является ромб с острым углом α и меньшей диагональю а. все двугранные углы при основании пирамиды равны β. найдите: 1) площадь полной поверхности пирамиды; 2) высоту пирамиды.

Answer 1

Пусть $SABCD$ — четырёхугольная пирамида, в основании которой ромб $ABCD.$ Меньшая диагональ ромба $BD = a$ и острый угол $\angle BAD = \alpha.$$\ SO$ высота пирамиды, значит, $SO \bot (ABCD)$, следовательно $SO \bot OK,$ так как $OK \in (ABCD),$$\ OK$ — проекция $SK$ на плоскость $(ABCD),$$\ OK \bot CD$ ⇒ по теореме о трёх перпендикуляров (ТТП) $SK \bot CD$, следовательно, $\angle SKO = \beta$ — линейный угол двугранного угла при ребре $CD;$ так как все двугранные углы при основании равны, то точка О — центр вписанной окружности, то есть $OK = r.$

Найти: $1) \ S_{_{\Pi}} - ? \ 2) \ SO - ?$

Решение. Ромб $ABCD$ состоит из четырёх равных прямоугольных треугольников: $\triangle AOD = \triangle AOB = \triangle BOC = \triangle COD.$

Рассмотрим $\triangle AOD (\angle AOD = 90^{\circ}):$

$OD = \dfrac{BD}{2} = \dfrac{a}{2}$

$\angle OAD = \dfrac{\angle BAD}{2} = \dfrac{\alpha}{2}$

$\text{sin} \dfrac{\alpha}{2} = \dfrac{OD}{AD} \Rightarrow AD = \dfrac{OD}{\text{sin} \dfrac{\alpha}{2}} = \dfrac{a}{2 \text{sin} \dfrac{\alpha}{2}}$

$\text{tg} \dfrac{\alpha}{2} = \dfrac{OD}{AO} \Rightarrow AO = \dfrac{OD}{\text{tg} \dfrac{\alpha}{2}} = \dfrac{a}{2 \text{tg} \dfrac{\alpha}{2}}$

Значит, диагональ $AC = 2AO = \dfrac{2a}{2 \text{tg} \dfrac{\alpha}{2}} = \dfrac{a}{\text{tg} \dfrac{\alpha}{2}}$

Рассмотрим $\triangle COD (\angle COD = 90^{\circ}):$

$r = OK = \dfrac{CO \ \cdotp OD}{CD} = \dfrac{\dfrac{a}{2 \text{tg} \dfrac{\alpha}{2}} \ \cdotp \dfrac{a}{2}}{\dfrac{a}{2 \text{sin} \dfrac{\alpha}{2}}} = \dfrac{a^{2} \ \cdotp 2 \text{sin} \dfrac{\alpha}{2}}{4a \ \text{tg} \dfrac{\alpha}{2}} = \dfrac{a \ \text{cos} \dfrac{ \alpha}{2}}{2}$

Высота ромба $BM = 2OK = \dfrac{2a \ \text{cos} \dfrac{\alpha}{2} }{2} = a \ \text{cos} \dfrac{\alpha}{2}$

Площадь основания пирамиды $S_{_{\text{O}}} = BO \ \cdotp CD = a \ \text{cos} \dfrac{\alpha}{2} \ \cdotp \dfrac{a}{2 \text{sin} \dfrac{\alpha}{2}} = \dfrac{a^{2} \ \text{cos} \dfrac{\alpha}{2}}{2 \text{sin} \dfrac{\alpha}{2}}} = \dfrac{a^{2} \ \text{ctg} \dfrac{\alpha}{2}}{2}$

Рассмотрим $\triangle SOK (\angle SOK = 90^{\circ}):$

$\text{tg} \beta = \dfrac{SO}{OK} \Rightarrow SO = OK \text{tg} \beta = \dfrac{a \ \text{cos} \dfrac{ \alpha}{2} \text{tg} \beta}{2}$

$\text{cos}\beta = \dfrac{OK}{SK} \Rightarrow SK = \dfrac{OK}{\text{cos}\beta} = \dfrac{a \ \text{cos} \dfrac{ \alpha}{2}}{2 \text{cos}\beta}$

Определим площадь треугольника $SDC:$

$S_{_{\triangle SDC}} = \dfrac{SK \ \cdotp CD}{2} = \dfrac{a \ \text{cos} \dfrac{ \alpha}{2} \ \cdotp a}{2 \ \cdotp 2 \text{cos}\beta \ \cdotp 2 \text{sin} \dfrac{\alpha}{2}}} = \dfrac{a^{2} \ \text{cos} \dfrac{ \alpha}{2}}{8\text{cos}\beta \ \text{sin} \dfrac{\alpha}{2}} = \dfrac{a^{2} \text{ctg} \dfrac{\alpha}{2}}{8\text{cos}\beta}$

Из-за того, что у ромба все стороны равны и все двугранные углы при основании равны, то все боковые грани пирамиды будут тоже равны. Следовательно, площадь боковой поверхности $S_{_{\text{B}}} = 4S_{_{\triangle SDC}} = \dfrac{4a^{2} \text{ctg} \dfrac{\alpha}{2}}{8\text{cos}\beta} = \dfrac{a^{2} \text{ctg} \dfrac{\alpha}{2}}{2\text{cos}\beta}$

Теперь, зная площадь основания и боковой поверхности пирамиды можно найти площадь полной поверхности:

$S_{_{\Pi}} = S_{_{\text{O}}} + S_{_{\text{B}}} = \dfrac{a^{2} \ \text{ctg} \dfrac{\alpha}{2}}{2} + \dfrac{a^{2} \text{ctg} \dfrac{\alpha}{2}}{2\text{cos}\beta} = \dfrac{a^{2} \ \text{ctg} \dfrac{\alpha}{2} (\text{cos} \beta + 1)}{2\text{cos} \beta}$

ответ: площадь полной поверхности пирамиды равна $\dfrac{a^{2} \ \text{ctg} \dfrac{\alpha}{2} (\text{cos} \beta + 1)}{2\text{cos} \beta};$ высота пирамиды равна $\dfrac{a \ \text{cos} \dfrac{ \alpha}{2} \text{tg} \beta}{2}.$