Проверим квадраты сторон треугольника АВС:
AB=5, BC=12, AC=13.
5² +12² = 25 + 144 = 169,
13² = 169. Треугольник АВС - прямоугольный, угол АВС - прямой.
Поэтому треугольник АМС лежит в вертикальной плоскости.
Проверим квадраты сторон треугольника ВМС:
ВМ=15, BC=12, МC=9.
9² +12² = 81 + 144 = 225,
15² = 225. Треугольник ВМС - прямоугольный, угол ВМС - прямой.
Угол α между плоскостями треугольника ABC и прямоугольника ABMN соответствует плоскому углу МВС.
α = arc sin(MC/BM) = arc sin(9/15) = arc sin(3/5) = 0,643501 радиан = 36,8699°.
ед².
Обозначим данную пирамиду буквами 
.
ед.
Проведём высоту 
. Точка 
- центр 
- точка пересечения, медиан, высот и биссектрис треугольника.
Проведём апофему 
(апофема - это высота боковой грани пирамиды, проведённая из вершины пирамиды) к стороне 
основания пирамиды.
Т.к. данная пирамида - правильная, треугольная ⇒ основание пирамиды - правильный треугольник.
.
Проведём высоту 
в .
Т.к. - равносторонний ⇒ - высота, медиана, биссектриса.
Высота и апофема имеют общее основание, а именно точку 
, т.к. - медиана, а апофема делит пополам (по свойству).
.
Рассмотрим 
:
- прямоугольный, так как - высота.
Найдём высоту по теореме Пифагора: 
ед.
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Точка O - пересечение медиан и делит их в отношении 2 : 1, считая от вершины.
ед.
ед.
Рассмотрим 
:
- прямоугольный, так как - высота.
Если угол прямоугольного треугольника равен 
, то напротив лежащий катет равен произведению меньшего катета на 
.
ед.
Найдём апофему по теореме Пифагора: 
ед.
====================================================
полн. поверх. = S основ. + S бок.поверх.
осн. = 
ед².
бок. поверх. = 
(
осн. 
), где 
- апофема.
осн. 
ед.
⇒ бок. поверх. = 
ед².
⇒ полн. поверх. = 
ед².
a+b=25,2 а=1/2b 1/2b+b=25.2 b=16.8 a=8.4