Достроим трапецию до равнобедренного треугольника.
Центр вписанной окружности лежит на биссектрисе.
Биссектриса к основанию является высотой и медианой.
Окружность касается оснований в серединах.
BL=CL, AN=DN
Отрезки касательных из одной точки равны.
BK=BL=CL=CM =a
AK=AN=DN=DM =b
По теореме о пропорциональных отрезках KM||BC||AD
△KAP~△BAC, KP/BC=AK/AB => KP/2a =b/(a+b)
△PCM~△ACD, PM/AD=CM/CD => PM/2b =a/(a+b)
KP=PM =2ab/(a+b)
LN - высота => LN⊥KM
S(KLMN) =1/2 KM*LN *sin90 =2ab/(a+b) *LN
S(ABCD) =1/2 (AD+BC)*LN =(a+b) *LN
S(ABCD)/S(KLMN) =(a+b)^2/2ab =8/3 =>
(a^2 +b^2 +2ab)/2ab =8/3 =>
a/2b +b/2a +1 =8/3 =>
a/b +b/a =2(8/3 -1) =10/3
a/b =x
x +1/x =10/3 =>
x^2 -10/3 x +1 =0 => x = {1/3; 3}
ответ: основания относятся 1:3
Рассмотрим ΔABD - это равнобедренный треугольник с равными углами B и D, так как он является половиной ромба ABCD. Из ∠В при основании равнобедренного ΔABD проведена биссектриса ВЕ, т.к. в условии дано, что ∠АВЕ=∠DBE.
Теперь рассмотрим ΔEBD: по условию известно, что ∠BED=120°, также из чертежа видно, что ∠EDB треугольника EBD=∠ADB треугольника ABD, это общий для них угол.
Примем за х величину ∠EBD в ΔEBD,
тогда ∠EDB=180-(∠BED+∠EBD)=180-(120-х)=180-120-х=60-х
∠ABD в ΔABD будет равен х+х=2х, т.к. ВЕ биссектриса этого угла и ∠EBD+∠ABE как раз составляют ∠ABD.
Далее составляем уравнение: 2х=60-х, так как угол D общий в этих Δ.
Решаем: 2х+х=60
3х=60
х=60/3=20° это ∠EBD
∠ABD=2*20=40°, значит ∠АВС ромба будет равен 40*2=80°, т.к. диагональ BD ромба является биссектрисой ∠ АВС. ∠ADC=∠АВС=80°, т.к. противоположные углы в ромбе равны.
∠BAD ΔABD=180-40-40=100° и он же является ∠А в ромбе ABCD, значит ∠А ромба ABCD = 100°. ∠С тоже=100°, т.к. он противоположен ∠А.
Таким образом, в ромбе ABCD: ∠A=∠C=100° и ∠B=∠D=80°
Вроде бы всё...
Объяснение:
=корень из (30^2+16^2)=34