Прямоугольный равнобоковый треугольник, каждый катет которого составляет 2 м, представляет собой прямоугольный квадрат, зачеркнутый внутри и разделенный одним углом этого треугольника.
Прямоугольный треугольник с гипотенузой 25 см и проведенной к ней высотой равной 12 см вращается вокруг гипотенузы. Найдите площадь поверхности тела, полученного при вращении.
Решение: АВ=25 см, СН=12 см
Sтела=Sбок.кон(1) + Sбок.кон(2)
h2=ac*bc (высота в прямоугольном треугольнике)
CH2=AH*HB. Пусть AH=x, тогда НВ=25-x.
x(25-x)=122;
x2-25x+144=0;
АН=16 см, НВ=9 см Из ΔАНС по теореме Пифагора АС2=АН2+СН2
АС=20см-(образующая 1)
Sбок.кон(1)=πrl=π*12*20=240π (cм2 )
Из ΔВНС СВ2=СН2+НВ2
CB=15 (см).- (образующая 2).
Sбок.кон(2)=π*12*15=180π (см2).
Sтела=240π +180π=420π (см2)
ответ: 420π см2
Задача 3
Прямоугольная трапеция с основаниями 5 см и 10 см и большей боковой стороной равной 13 см вращается вокруг большего основания. Найдите площадь поверхности тела вращения.
АС=5 см, НК=10см, СК=13 см.
ОК=НК-АС=5 см; l=13 см
Из ΔСОК по теореме Пифагора СО2=СК2-ОК2;
СО=r =12 см;
Sбок.кон=πrl=π*12*13=156π (см2);
Sцил.=2πrh+πr2=2π*12*5+144π=264π (см2);
Sтела= Sбок.кон.+Sцил.= 156π +264π=
=420π (см2);
ответ: 420π см2
Задача 4
Прямоугольная трапеция с основаниями 5 см и
10см и большей боковой стороной равной 13 см вращается
Вокруг меньшего основания. Найдите площадь поверхности
тела вращения. Прямоугольная трапеция с основаниями
5 см и 10 см и большей боковой стороной равной 13 см
вращается вокруг меньшего основания. Найдите площадь
Поверхности тела вращения.
ВС=5 см, АD=10 см,АВ=13 см
Sтела= Sбок.кон.+Sцил(1основание)
Sтела= πrl+2πrh+πr2; АК=АD-ВС=5 (см);
Из ΔАКВ - прямоугольного по теореме Пифагора
КВ2=АВ2-АК2;
КВ=12см – r
AB=l – образующая
h=AD=10 см
Sтела=π*12*13 + 2π*12*10+144π=540π (см2).
ответ: 540π см2
Задача 5.
Равнобокая трапеция с основаниями 4 см и 10 см и
высотой 4 см вращали вокруг большего основания. Найдите
площадь поверхности тела вращения.
АВ=4см, DC=10 см, ВН=4 см
Sтела=2 Sбок.кон.+Sбок.цил.
Sбок.кон=πrl
HC=10-2/2=3.
Из ΔВНС по теореме Пифагора СВ2=СН2+НВ2;
CВ=5 см.-l (образующая).
BH=r=4 cм;
Sбок.кон=π*4*5=20π (см2)
h=HH1=10 – (3+3)=4 см. Sбок.цил.=2πrh=2*4*4*π=32π (см2)
Sтела=40π+32π=72π (см2).
ответ: 72π см2.
Задача 6
Параллелограмм со стороной 3 см и 6 см , острым углом А= 60° вращается вокруг оси, проходящей через вершину острого угла, параллельно высоте параллелограмма. Найти объем полученного тела вращения.
из подобия треугольников (получается три и все подобны). Проекция вершины при угле 90 градусов даст перпендикуляр к гипотенузе. Этот перпендикуляр разделит исходны треугольник на 2 прямоугольных. Вот эти три подобны (у них углы одинаковые).
Если два треугольника подобны, то стороны одного из них получаются из сторон другого умножением на некоторое положительное число (а, допустим). Тогда стороны первого из сторон второго получаются умножением на (1/а).
Можно нарисовать картинку и получить пару уравнений относительно длины отрезка гипотенузы, на который не попала проекция катета (пусть это х). И коэффициента подобия (пусть к) при переходе от исходного к тому внутреннему, у которого сторона (один из катетов) равна пяти.
Первый из них не подходит для первого из уравнений выразите х^2 и увидите при подстановке,что квадрат х отрицателен будет; или сразу заметьте, что при к = sqrt(5) / 2 > 1 будет 6 меньше чем 6к).
Задача 2
Прямоугольный треугольник с гипотенузой 25 см и проведенной к ней высотой равной 12 см вращается вокруг гипотенузы. Найдите площадь поверхности тела, полученного при вращении.
Решение: АВ=25 см, СН=12 см
Sтела=Sбок.кон(1) + Sбок.кон(2)
h2=ac*bc (высота в прямоугольном треугольнике)
CH2=AH*HB. Пусть AH=x, тогда НВ=25-x.
x(25-x)=122;
x2-25x+144=0;
АН=16 см, НВ=9 см Из ΔАНС по теореме Пифагора АС2=АН2+СН2
АС=20см-(образующая 1)
Sбок.кон(1)=πrl=π*12*20=240π (cм2 )
Из ΔВНС СВ2=СН2+НВ2
CB=15 (см).- (образующая 2).
Sбок.кон(2)=π*12*15=180π (см2).
Sтела=240π +180π=420π (см2)
ответ: 420π см2
Задача 3
Прямоугольная трапеция с основаниями 5 см и 10 см и большей боковой стороной равной 13 см вращается вокруг большего основания. Найдите площадь поверхности тела вращения.
АС=5 см, НК=10см, СК=13 см.
ОК=НК-АС=5 см; l=13 см
Из ΔСОК по теореме Пифагора СО2=СК2-ОК2;
СО=r =12 см;
Sбок.кон=πrl=π*12*13=156π (см2);
Sцил.=2πrh+πr2=2π*12*5+144π=264π (см2);
Sтела= Sбок.кон.+Sцил.= 156π +264π=
=420π (см2);
ответ: 420π см2
Задача 4
Прямоугольная трапеция с основаниями 5 см и
10см и большей боковой стороной равной 13 см вращается
Вокруг меньшего основания. Найдите площадь поверхности
тела вращения. Прямоугольная трапеция с основаниями
5 см и 10 см и большей боковой стороной равной 13 см
вращается вокруг меньшего основания. Найдите площадь
Поверхности тела вращения.
ВС=5 см, АD=10 см,АВ=13 см
Sтела= Sбок.кон.+Sцил(1основание)
Sтела= πrl+2πrh+πr2; АК=АD-ВС=5 (см);
Из ΔАКВ - прямоугольного по теореме Пифагора
КВ2=АВ2-АК2;
КВ=12см – r
AB=l – образующая
h=AD=10 см
Sтела=π*12*13 + 2π*12*10+144π=540π (см2).
ответ: 540π см2
Задача 5.
Равнобокая трапеция с основаниями 4 см и 10 см и
высотой 4 см вращали вокруг большего основания. Найдите
площадь поверхности тела вращения.
АВ=4см, DC=10 см, ВН=4 см
Sтела=2 Sбок.кон.+Sбок.цил.
Sбок.кон=πrl
HC=10-2/2=3.
Из ΔВНС по теореме Пифагора СВ2=СН2+НВ2;
CВ=5 см.-l (образующая).
BH=r=4 cм;
Sбок.кон=π*4*5=20π (см2)
h=HH1=10 – (3+3)=4 см. Sбок.цил.=2πrh=2*4*4*π=32π (см2)
Sтела=40π+32π=72π (см2).
ответ: 72π см2.
Задача 6
Параллелограмм со стороной 3 см и 6 см , острым углом А= 60° вращается вокруг оси, проходящей через вершину острого угла, параллельно высоте параллелограмма. Найти объем полученного тела вращения.
Vт=Vук – Vк; Vук=1/3П h(R2+R12+RR1); Vк=1/3ПR2h; угол D=A, угол СDC1=60°, ∆CC1D – равносторонний, СС1=6см, Rк=3см, h