1) Произведением вектора a→ на число k ( k ≠0) называется вектор b→, модуль которого равен ∣∣∣b→∣∣∣=∣∣k∣∣⋅∣∣a→∣∣, при этом: - векторы a→ и b→ сонаправлены, если >0; - векторы a→ и b→ противоположно направлены, если <0. 2) Если вектор b равен произведению ненулевого числа k и ненулевого вектора a, то есть b = k · a, тогда:
b || a - вектора b и a параллельны a↑↑b, если k > 0 - вектора b и a сонаправленные, если число k > 0 a↑↓b, если k < 0 - вектора b и a противоположно направленные, если число k < 0 |b| = |k| · |a| - модуль вектора b равен модулю вектора a умноженному на модуль числа k
bc=b1c1, и am, a1m1 - медианы, то bm=cm=b1m1=c1m1. Рассмотрим треугольники abm и a1b1m1. Они равны по трем сторонам: - ab=a1b1 по условию; - am=a1m1 по условию; - bm=b1m1 как только что доказано. У равных треугольников abm и a1b1m1 равны соответственные углы amb и a1m1b1. Значит, углы amc и a1m1c1, равные 180-<amb и 180-<a1m1b1, также равны между собой. Треугольники amc и a1m1c1 будут равны по двум сторонам и углу между ними: - am=a1m1 по условию; - сm=c1m1 как было показано выше; - углы amc и a1m1c1 равны как доказано выше. У равных треугольников amc и a1m1c1 равны соответственные стороны ac и a1c1. Таким образом, треугольники abc и a1b1c1 получаются равными по трем сторонам.
A₁C₁ лежит в плоскости А₁В₁С₁, прямая B₁O пересекает эту плоскость в точке В₁, не лежащей на прямой А₁С₁, значит эти прямые скрещивающиеся.
АА₁║СС₁ и АА₁ = СС₁, АА₁⊥А₁В₁С₁, а значит и А₁С₁, ⇒
АА₁С₁С - прямоугольник, ⇒ АС║А₁С₁.
Тогда угол между прямыми АС и В₁О равен искомому углу между прямыми А₁С₁ и В₁О.
BD⊥АС как диагонали квадрата, ⇒ и ВО⊥АС,
ВО - проекция В₁О на плоскость основания, значит и В₁О⊥АС по теореме о трех перпендикулярах.
Значит В₁О⊥А₁С₁.