Треугольники AOD и COB подобны. Далее, очень легко построить треугольник, подобный этим треугольникам, площадь которого равна площади трапеции. Из точки C проводится прямая CE II BD до пересечения с продолжением AD в точке E. Треугольник ACE имеет ту же высоту, что и трапеция (собственно, у них общая высота - расстояние от точки C до AD). Поскольку DBCE - параллелограмм, то AE = AD + DE = AD + BC; То есть площадь треугольника ACE равна площади S трапеции ABCD; Треугольник ACE подобен AOD и COB по построению (у них, к примеру, равны все углы). Площади подобных треугольников пропорциональны квадратам соответственных сторон. То есть СУЩЕСТВУЕТ такое число k, что AD = k*√25; BC = k*√16; AD + BC = k*√S; Отсюда √S = √25 + √16 = 9; S = 81;
Треугольники AOD и BOC подобны по свойству трапеции. Площади подобных треугольников относятся, как квадраты коэффициента их подобия 25:16=k² k=√(25:16)=5:4 Следовательно, основания трапеции относятся, как 5:4 Обозначим высоту ᐃ ВОС=h₁ высоту ᐃ АОD=h₂ S АОD=h₂·АD:2 S ВОС=h₁·ВС:2
Площадь трапеции равна произведению ее высоты на полусумму оснований:
Высота трапеции Н S ABCD=Н·(АD+ВС):2 Н=h₂+h₁ S ABCD =(h₁+h₂)·(АD+ВС):2= =h₁·АD+h₂·АD+h1·ВС+h₂·ВС
1) Применим свойство пропорции: произведение средних членов пропорции равно произведению крайних. h₂:h₁=5:4 4h₂=5h₁ h₂=5h₁/4 S AOD=h₂·АD:2=5h₁/4·АD:2 25=5h₁/4·АD:2 Умножим на два обе части уравнения 12,5=5h₁/4·АD 5h₁/4 =12,5:AD h₁:4=2,5:AD h₁·AD= 4·2,5 =10 см² Т.к. площади боковых треугольников у трапеции равны равны, то h₂·ВС=10 см² Проверим это: 2) h₂:h₁=5:4 5h₁=4h₂ h₁=4h₂/5 S ВОС=h₁·ВС:2=4h₂/5·ВС:2 16=4h₂/5·ВС:2 Умножим на два обе части уравнения 8=4h₂/5·ВС 4h₂:5=8:ВС 4h₂·ВС=8·5=40 h₂·ВС=40:4=10 см²
3) Подставим значения h₂·ВС и h₁·AD в уравнение площади трапеции
S ABCD=h₁·АD+25+16+h₂ВС=41+=h₁·АD+h₂·ВС = S ABCD=10+25+16+10= 61 см
Сумма всех углов 4-х угольника 360°
х+х+х+20+х+20=360
4х+40= 360
4х=320
х=80° угол А= углу С
80°+20°=100° угол В=углуD
ответ: А=С=80°;В=D=100°