Question

Cоставить уравнение гиперболы , фокусы которой лежат на оси абсцисс симметрично относительно начала координат , если дана точка m(-5; 3) гиперболы и эксцентриситет е= sqrt 2 чему равна длина мнимой полуоси гиперболы

Answer 1

Поскольку фокусы гиперболы лежат на оси абсцисс симметрично относительно начала координат, то это стандартная гипербола, которая имеет уравнение:

$\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$, где а - действительная полуось, b - мнимая полуось

Поскольку дана точка гиперболы, то подставим ее координаты в уравнение:

$\dfrac{(-5)^2}{a^2}-\dfrac{3^2}{b^2}=1$

Также распишем эксцентриситет гиперболы:

$\varepsilon=\dfrac{\sqrt{a^2+b^2}}{a} =\sqrt{2}$

Преобразуем. Возведем в квадрат:

$\dfrac{a^2+b^2}{a^2} =2\\a^2+b^2=2a^2\\b^2=a^2$

Подставим в уравнение с координатами выявленное соотношение:

$\dfrac{25}{a^2}-\dfrac{9}{a^2}=1\\\\\dfrac{16}{a^2}=1\\\Rightarrow a^2=16\\\Rightarrow b^2=16$

Все необходимые данные для записи уравнения есть:

$\dfrac{x^2}{16}-\dfrac{y^2}{16}=1$

Поскольку квадрат мнимой полуоси $b^2=16$, то ее длина - соответственно $|b|=4$