Диагональ сечения цилиндра параллельного оси равна 8 корней 3 она наклонена к плоскости основания под углом 60° это сечение в основании отсекает дугу в 120°. найдите площадь осевого сечения цилиндра?
Для решения данной задачи, необходимо использовать геометрические знания о цилиндрах и треугольниках. Приступим к решению:
Из условия задачи известно, что диагональ сечения цилиндра параллельного оси равна 8 * квадратный корень из 3. Обозначим эту диагональ за d.
По определению диагонали сечения цилиндра, она перпендикулярна к плоскости основания цилиндра. То есть, диагональ создаёт прямой угол с плоскостью основания.
В задаче также указано, что диагональ наклонена к плоскости основания под углом 60°. Обозначим этот угол за α.
Треугольник, образованный диагональю и линией апофемы (расстояние от центра окружности основания до точки сечения осевого сечения), является прямоугольным. Соответственно, у нас есть два равносторонних треугольника (поскольку длина апофемы одинакова со всех сторон).
Т. к. треугольники равносторонние, углы между осью цилиндра и диагональю равны по 30°.
Полученные знания о треугольниках позволяют найти длину радиуса r цилиндра. Рассмотрим прямоугольный треугольник, у которого один из углов равен 30°. Понятно, что sin 30° = (1/2). Значит, отношение длины катета к гипотенузе равно 1/2.
Обозначим длину радиуса цилиндра за r. Тогда, половина высоты треугольника (апофемы), будет равна r. Оставшаяся часть высоты (катет) будет равна 1/2 * r.
Теперь мы можем составить прямоугольный треугольник, в котором гипотенуза равна d (8 * квадратный корень из 3), а катеты равны r и 1/2 * r.
С помощью теоремы Пифагора, можно записать уравнение:
d^2 = r^2 + (1/2 * r)^2.
Раскроем скобку:
d^2 = r^2 + 1/4 * r^2.
Приведём выражение к общему знаменателю:
d^2 = 4/4 * r^2 + 1/4 * r^2.
d^2 = 5/4 * r^2.
Разделим обе части равенства на 5/4:
d^2 / (5/4) = r^2.
Упростим выражение:
d^2 * 4/5 = r^2.
Тогда
r^2 = 4/5 * d^2.
Теперь мы можем найти площадь осевого сечения цилиндра. Для этого необходимо знать формулу площади осевого сечения.
Площадь осевого сечения равна площади треугольника, зная его основание и высоту. В данном случае, основание треугольника – это дуга в основании цилиндра, которую сечение отсекает. Эта дуга равна 120°.
Радиус окружности цилиндра (основание) тоже равен r. Поэтому можно найти длину дуги:
Длина дуги = 2 * π * r * (дуга / 360).
Подставим в формулу известные значения:
Длина дуги = 2 * π * r * (120 / 360) = 2 * π * r * (1/3).
Теперь мы можем найти площадь треугольника:
Площадь треугольника = 1/2 * основание * высота = 1/2 * (2 * π * r * (1/3)) * (1/2 * r).
Таким образом, площадь осевого сечения цилиндра равна (1/20) * π * d^2, где d – диагональ сечения цилиндра параллельного оси, равная 8 * квадратный корень из 3.
Из условия задачи известно, что диагональ сечения цилиндра параллельного оси равна 8 * квадратный корень из 3. Обозначим эту диагональ за d.
По определению диагонали сечения цилиндра, она перпендикулярна к плоскости основания цилиндра. То есть, диагональ создаёт прямой угол с плоскостью основания.
В задаче также указано, что диагональ наклонена к плоскости основания под углом 60°. Обозначим этот угол за α.
Треугольник, образованный диагональю и линией апофемы (расстояние от центра окружности основания до точки сечения осевого сечения), является прямоугольным. Соответственно, у нас есть два равносторонних треугольника (поскольку длина апофемы одинакова со всех сторон).
Т. к. треугольники равносторонние, углы между осью цилиндра и диагональю равны по 30°.
Полученные знания о треугольниках позволяют найти длину радиуса r цилиндра. Рассмотрим прямоугольный треугольник, у которого один из углов равен 30°. Понятно, что sin 30° = (1/2). Значит, отношение длины катета к гипотенузе равно 1/2.
Обозначим длину радиуса цилиндра за r. Тогда, половина высоты треугольника (апофемы), будет равна r. Оставшаяся часть высоты (катет) будет равна 1/2 * r.
Теперь мы можем составить прямоугольный треугольник, в котором гипотенуза равна d (8 * квадратный корень из 3), а катеты равны r и 1/2 * r.
С помощью теоремы Пифагора, можно записать уравнение:
d^2 = r^2 + (1/2 * r)^2.
Раскроем скобку:
d^2 = r^2 + 1/4 * r^2.
Приведём выражение к общему знаменателю:
d^2 = 4/4 * r^2 + 1/4 * r^2.
d^2 = 5/4 * r^2.
Разделим обе части равенства на 5/4:
d^2 / (5/4) = r^2.
Упростим выражение:
d^2 * 4/5 = r^2.
Тогда
r^2 = 4/5 * d^2.
Теперь мы можем найти площадь осевого сечения цилиндра. Для этого необходимо знать формулу площади осевого сечения.
Площадь осевого сечения равна площади треугольника, зная его основание и высоту. В данном случае, основание треугольника – это дуга в основании цилиндра, которую сечение отсекает. Эта дуга равна 120°.
Радиус окружности цилиндра (основание) тоже равен r. Поэтому можно найти длину дуги:
Длина дуги = 2 * π * r * (дуга / 360).
Подставим в формулу известные значения:
Длина дуги = 2 * π * r * (120 / 360) = 2 * π * r * (1/3).
Теперь мы можем найти площадь треугольника:
Площадь треугольника = 1/2 * основание * высота = 1/2 * (2 * π * r * (1/3)) * (1/2 * r).
Упростим выражение:
Площадь треугольника = 1/2 * π * r^2 * (1/3) * (1/2).
Так как нам необходимо найти площадь осевого сечения, мы рассматриваем только половину площади треугольника:
Площадь осевого сечения = 1/4 * π * r^2 * (1/3).
Подставим значение r^2:
Площадь осевого сечения = 1/4 * π * (4/5 * d^2) * (1/3).
Упростим выражение:
Площадь осевого сечения = (1/20) * π * d^2.
Таким образом, площадь осевого сечения цилиндра равна (1/20) * π * d^2, где d – диагональ сечения цилиндра параллельного оси, равная 8 * квадратный корень из 3.