В равнобедренный треугольник АВС , АВ=ВС=15 , АС=24, вписана окружность (О; r). Найдите r.
Объяснение:
1)Пусть ВН ⊥АС. Центр вписанной окружности О лежит в точке пересечения биссектрис. В равнобедренном треугольнике биссектриса совпадает с высотой ⇒поэтому О лежит на высоте ВН.
АН=42 :2=12( т.к. ВН и медиана ) . Будем искать r из ΔКВО.
2) ΔАВН-прямоугольный, по т. Пифагора ВН=√(15²-12²)=9. Тогда отрезок ВО можно выразить так ВО=9-r.
По свойству отрезков касательных АН=АК=12⇒КВ=15-12=3.
3) ΔКВО-прямоугольный , по свойству радиуса , проведенного в точку касания . По т. Пифагора ВО²=ОК²+КВ²
(9-r)²=r²+3² ,81-18r+r²=r²+9 ,18r=72 , r=4 .
Подробно.
Площадь основания a^2; диагональ основания a*корень(2). Это - основание треугольника, который - диагональное сечение. Треугольник этот равнобедренный (боковые стороны - ребра пирамиды). Высота этого треугольника, проведенная к основанию - это высота пирамиды. Обозначим ее Н.
Получаем а^2 = Н*a*корень(2)/2; получается, что Н тоже равно a*корень(2).
Теперь надо найти апофемы боковых граней.
Выберем какую-то сторону основания и проведем в боковой грани, её содержащей, апофему. Проекция этой апофемы перпендикулярна этой стороне, потому что лежит в плоскости, которая перпендикулярна этой стороне - а именно, плоскости, в которой лежат апофема и высота пирамиды (каждая из этих прямых перпендикулярна этой стороне). Следовательно, апофема является гипотенузой в прямоугольном треугольнике, образованной высотой пирамиды и отрезком, выходящим из центра квадрата в основании и препендикулярным стороне. Такой отрезок, очевидно, равен а/2. Легко сосчитать, что апофема m равна
m = a*корень(2 + 1/4) = a*корень(9/4) = а*3/2.
Площадь боковой грани составит m*a/2 = a^2*3/4, всего боковых граней 4.
ответ. Боковая поверхность равна 3*a^2
z это гипотенуза