Треугольник АВМ равнобедренный, так как АН - его высота и биссектриса. Значит АН - медиана и ВН=МН (по свойству равнобедренного треугольника). АМ - биссектриса угла НАС, следовательно точка М равноудалена от сторон этого угла, то есть перпендикуляры МН и МК равны. Итак, ВН=МН и МН=МК. Значит МК=ВН, что и требовалось доказать. б) Точка М - медиана. Следовательно, в прямоугольном треугольнике МКС гипотенуза МС=ВМ=2*ВН=2*МК и угол С=30°. <KMC=60°, <HMK=180°-60°=120°. Но <НМК=2*<ABC. Отсюда <ABC=60°. тогда <A=180°-60°-30°=90° ответ: в треугольнике АВС <A=90°, <В=60° и <C=30°.
Отрезок прямой, проходящей через середины ребер AS и BC, обозначим КМ. Медиана основания АМ (она же и высота и биссектриса основания) равна АВ*cos 30° = 12√3 * (√3/2) = 18. Точка К на середине ребра SA проецируется на медиану в точку Е, находящуюся посредине отрезка АО, равного 2/3 АМ. АО = (2/3)*18 = 12, ЕО = (1/2)*12 = 6. Отсюда ЕМ = 6+(1/3)*18 = 6 + 6 = 12. Высота пирамиды SO = √(SA²-AO²) = √(13²-12²) = √(169-144) = √25 = 5. Отрезок КЕ равен половине высоты пирамиды: КЕ = 5/2 = 2,5. Угол, образованный плоскостью основания и прямой, проходящей через середины ребер AS и BC, - это угол КМЕ = α. ctg α = EM / KE = 12 / 2.5 = 4.8. α = arc ctg 4.8 = 0.205395 радиан = 11.76829 градуса
