Question

Основание трапеции, около которой можно описать окружность, равны 4 см и 14 см, а одна из боковых сторон равна 13 см.найдите длину описаной окружности

Answer 1

Трапеция АВСД является равнобедренной, т.к. окружность описать можно только вокруг равнобедренной трапеции. Значит, АВ=СД=13 см.

Проведем высоты ВН и СК. Тогда НК=ВС=4 см, АН=КД=(14-4):2=5 см.

Рассмотрим ΔАВН - прямоугольный. ВН=√(АВ²-АН²)=√(169-25)=√144=12 см.

Рассмотрим ΔАВД и найдем его площадь:

S=1\2 * АД * ВН= 1\2 * 14 * 12=84 см².

Из ΔВДН найдем ВД по теореме Пифагора ВД=√(ВН²+ДН²)=√(144+81)=√225=15 см

Найдем радиус окружности, описанной вокруг ΔАВД (этим же радиусом описана окружность вокруг трапеции АВСД)

R =(АВ*ВД*АД)/(4*S)=13*15*14\4*84=8,125 см

Найдем длину окружности по формуле С=2πR=2π*8,125=16,25π см

ответ: 16,25π см.

Answer 2

$\mathrm{\angle CBD=\angle BDA}$ как накрест лежащие при BC || AD и секущей BD

$\mathrm{0.5\cup CD=0.5\cup AB~\Rightarrow~~ \cup CD=\cup AB~~\Rightarrow~~ AB=CD}$

$AE=\dfrac{AD-BC}{2}=5$ см

Из прямоугольного треугольника ABE найдем BE по т. Пифагора

$\mathrm{BE=\sqrt{AB^2-AE^2}=\sqrt{13^2-5^2}=12}$ см

Из треугольника ABD найдем диагональ BD по т. Косинусов

$\mathrm{BD^2=AB^2+AD^2-2AB\cdot AD\cdot \cos\alpha} \\ \mathrm{BD=\sqrt{13^2+14^2-2\cdot13\cdot14\cdot\frac{5}{13}}=15~~ _{CM}}$

Вписанный угол измеряется половинной дуги, на которую он опирается.

$\mathrm{\angle BOD=0.5\cup BD,~ \angle BAD=0.5\cup BD,~ \angle BOD=2\angle BAD}$

Прямая является касательной к окружности тогда и только тогда, когда радиус, проведенной в точку касания, перпендикулярен ей, то есть

$OB=OD$, следовательно треугольник BOD равнобедренный

BF - высота, медиана и биссектриса равнобедренного треугольника BOD

$\mathrm{\angle BOF=0.5\angle BOD=0.5\cdot2\angle BAD=\angle BAD}$

Синус - отношение противолежащего катета к гипотенузе, т.е.

$\mathrm{\sin \angle BOF=\frac{BF}{OB}} ~~\Rightarrow~~ \mathrm{OB=\frac{65}{8}=8.125}$ см

Длина окружности: $C=2\pi R=2\pi \cdot8.125=16.25\pi$ см