Все стороны правильного (равностороннего) треугольника АВС = а . Его высота ВН есть медиана, её можно найти из прямоугольного треугольника АВН : h=√(a²-a²/4)=√(3a²/4)=(a√3)/2 Центры вписанной и описанной окружностей у правильного Δ совпадают и лежат на пересечении серединных перпендикуляров (они же высоты, биссектрисы и медианы). Медианы в точке пересечения делятся в отношении 2:1 , считая от вершины. И 2 части приходится на радиус описанной окружности, а 1 часть приходится на радиус вписанной окружности. Нас интересует R=2/3·h=2/3·(a√3)/2=a√3/3 . Формула площади правильного треугольника: S=1/2·a·a·sin60°=a²/2·√3/2=a²√3/4 . По условию S=75√3 ⇒ a²√3/4=75√3 ⇒ a²=75·4=300 ⇒ a=10√3 . R=a√3/3=10√3·√3/3=10 .
Обозначим центр данной вневписанной окружности точкой О. Проведём радиусы в точки касания (в точки B' и A'). Рассмотрим ΔOB'A'. OB' = OA' = R ⇒ ΔOB'A' - равнобедренный и тогда ∠OB'A' = ∠OA'B'.\ Т.к. радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной, то ∠CB'O = CA'O. ∠CB'A' = 90° - ∠OB'A' и ∠CA'B' = 90° - ∠OA'B'. Тогда ∠CA'B' = ∠CB'A' ⇒ ΔCB'A' - равнобедренный и CB' = CA'. (можно сразу сказать, что CB' = CA' - как отрезки касательных, проведённые из одной точки). Теперь осталось доказать, что CB' = p (или CA' = p), где p - полупериметр. B'A = AC', C'B = BA' - как отрезки касательных, проведённые из одной точки. Тогда AC = CB' - AC' CB = A'C - BC'
Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей.
S = 30х4/2 = 120/2 = 60
Пусть дан ромб АВСD
АО = ОС = 30:2 = 15
ВО = ОD = 4:2 = 2
АВ = √(АО² + ВО²) = √(15²+2²) = √229
Р = 15√229.