Ср о ч н о площадь основания правильной треугольной пирамиды равна 36√3 определить объем пирамиды, если ее боковое ребро образует с площадью основания угол 45°
Нам дано, что в прямоугольном треугольнике один угол равен 60градусов. Значит второй угол равен 30 градусам. Ведь сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна 90 гр. Так как ВDКМ ромб, то его противоположные стороны параллельны. ВМ параллельна DК. А это значит, что при пересечении двух параллельных секущей ВС, образуются соответственные углы МВD и КDС. Так как прямые параллельны, то углы равны по 60 градусов. Получилось, что в треугольнике DКС два угла соответственно равны 60 и 30 градусов. А это значит, что третий угол равен 90 градусов. то есть треугольник DКС прямоугольный. По скольку в ромбе все стороны равны BD=BM, равно 6 см. Сторона DК треугольника DКС тоже равна 6 см. Но она лежит против угла 30 градусов. Значит гипотенуза DС треугольника равна 12 см. А вся гипотенуза треугольника АВС равна 6+12= 18см. Из прямоугольного треугольника АМК, в котором острые углы так же равны 30 и 60 градусов, находим катет АМ. Он равен половине гипотенузе МК или 6:2=3 см. А всего катет АВ треугольника АВС равен 6+3=9 см. Остается найти второй катет треугольника АВС. Его мы находим в теореме Пифагора АС в квадрате = ВС в квадрате - АВ в квадрате= 18 в квадрате - 9 в квадрате= 324-81=243. Отсюда АС = корень квадратный из 243=9 корень квадратный 3. ответ: стороны у треугольника равны 9см, 9корень квадратный 3см и 18 см.
Находим сторону основания из формулы площади правильного треугольника. S = a²√3/4.
Отсюда сторона а = √(4S/√3) = √((4*36√3)/√3) = 2*6 = 12.
Так как боковое ребро образует с площадью основания угол 45°, то высота Н пирамиды равна (2/3) высоты h основания.
H = (2/3)*(a√3/2) = (2/3)*(12*√3/2) = 4√3.
Получаем ответ:
V = (1/3)SoH = (1/3)*(36√3)*(4√3) = 48*3 = 144 кв.ед.