Отрезки ab и cd пересекаются в точке о так что ао равно 10 см oб равно 5 см co равно 26 см od равно 13 см найдите длину отрезков ac и bd если угол abd равен 90 градусов
Сделаем рисунок и рассмотрим треугольники АОС и ВОD. АО:ВО=10:5=2, СО:DO=26:13=2, углы при О равны ( вертикальные). Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, а углы, заключенные между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны. Тогда в ∆ АОС угол А=углу В=90°, а АС:BD=2. По т.Пифагора ВD=√(DO²-BO²)=√(13²-5²)=12 см. ⇒ АС=12•2=24 см
Т.к. ac=a1c1, и bm, b1m1 - медианы, то am=cm=a1m1=c1m1. Рассмотрим треугольники abm и a1b1m1. Они равны по трем сторонам: - ab=a1b1 по условию; - bm=b1m1 по условию; - am=a1m1 как только что доказано. У равных треугольников abm и a1b1m1 равны соответственные углы amb и a1m1b1. Значит, углы bmc и b1m1c1, равные 180-<amb и 180-<a1m1b1, также равны между собой. Треугольники bmc и b1m1c1 будут равны по двум сторонам и углу между ними: - bm=b1m1 по условию; - сm=c1m1 как было показано выше; - углы bmc и b1m1c1 равны как доказано выше. У равных треугольников bmc и b1m1c1 равны соответственные стороны bc и b1c1. Таким образом, треугольники abc и a1b1c1 получаются равными по трем сторонам.
По условию задачи AB перпендикулярна BC, следовательно перпендикулярна и AD (т.к. в трапеции основания параллельны). Расстояние от точки Е до прямой CD - отрезок, перпендикулярный CD и проходящий через точку Е. Продолжим стороны AB и CD до пересечения в точке T. Проведем CK параллельно AB. KC=AB (т.к. ABKC - прямоугольник). KD=AD-AK=16-15=1 По определению косинуса: cos∠CDK=KD/CD=1/CD Рассмотрим треугольники TCB и CKD. ∠CTB=∠DCK (т.к. это соответственные углы при параллельных прямых TA и CK) ∠TBC=∠CKD=90° Следовательно, эти треугольники подобны (по первому признаку подобия). Тогда, BC/KD=TC/CD 15/1=TC/CD TC=15CD По теореме о касательно и секущей: TE2=TD*TC=(TC+CD)*TC=(15CD+CD)15CD=16CD*15CD=240CD2 TE=CD√240=4CD√15 Рассмотрим треугольники TEF и TAD. ∠CTB - общий ∠EFT=∠TAD=90° Следовательно, применив теорему о сумме углов треугольника, получаем, что ∠TEF=∠ADT. Следовательно, cos∠TEF=cos∠ADT. EF=TE*cos∠TEF=TE*cos∠ADT=TE/CD=4CD√15/CD=4√15 ответ: EF=4√15
Сделаем рисунок и рассмотрим треугольники АОС и ВОD. АО:ВО=10:5=2, СО:DO=26:13=2, углы при О равны ( вертикальные). Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, а углы, заключенные между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны. Тогда в ∆ АОС угол А=углу В=90°, а АС:BD=2. По т.Пифагора ВD=√(DO²-BO²)=√(13²-5²)=12 см. ⇒ АС=12•2=24 см