Такую задачу можно делать с теоремы о пропорциональных отрезках, но при этом нужно проводить дополнительные линии, а мне делать это лень. Поэтому воспользуемся теоремой Менелая. Советую перед разбором решения ознакомиться с формулировкой этой теоремы. А заодно и с теоремой Чевы. А если посмотрите и теорему Ван-Обеля, вы будете подкованы на 100%.
Кстати, удобно сначала воспользоваться теоремой Чевы. Поскольку чевианы PM, RK и QN пересекаются в одной точке, справедливо равенство
.
То есть в QK четыре части, а в KP одна часть. Следовательно, в PQ=PK+KQ пять частей, а тогда 
Для нахождения второго отношения воспользуемся теоремой Ван-Обеля. Поскольку чевианы PM, RK и QN пересекаются в точке S, то
Для нахождения третьего отношения применим теорему Менелая к треугольнику PRS и прямой NK, которая пересекает стороны PR и PS и продолжение стороны RS. Имеем:
Внимание для тех, кто хочет (и знает, как) сделать сайт лучше и комфортнее! В данный момент я имею в виду не преодоление тех очевидных недостатков, которые становятся очевидными в первые пять минут, а плохую работу встроенного TEX'а. Впечатление, что здешние айтишники не знают, как решить возникающие проблемы. Предложите им свои услуги!
Рассмотрим треуг. АСК -прямоугольный,т.как АК-медиана и высота
АК делит сторону ВС пополам.
ВС=ВК+КС
ВК=КС=3:2=1,5 - катет
АС=3 - гипотенуза
Находим катет АК (теор.Пифагора):
АК2=АС2 - КС2
АК2=3*3 - 1,5*1,5
АК=корень из 6,75
АК=2,598
Точка О - центр пересечения медиан и делит медианы в отношении 2:1,начиная от вершины: АО:ОК=2:1
АО+ОК=3(части) - составляют 2,598
АО=2части, АО=2,598:3*2=1,732
Рассмотрим треуг.АОМ
ОМ-перпендикуляр,значит треуг.АОМ-прямоугольный
АО и ОМ - катеты, АМ - гипотенуза и расстояние от точки М до вершины А треуг.АВС
Находим АМ(теор.Пифагора):
АМ2=АО2+ОМ2
Ом=1;АО=1,732;
АМ2=1*1+1,732*1,732
АМ=корень из 4
АМ=2
Точка О - центр пересечения медиан и ,значит, О-центр описанной около треуг.АВС окружности.АО=ОС=ОВ - радиусы.Значит, точка М равноудалена от вершин треугольника АВС.Поэтому