Правильное условие:
В треугольнике ABC AB=√21, BC=3√21. Биссектриса внешнего угла треугольника при вершине B пересекает прямую AC в точке P, угол APB равен 30°. Найдите BP.
Внешний угол треугольника равен сумме двух других не смежных с ним.
Пусть ∠CAB = y; ∠BCA = x.
Тогда внешний угол при вершине B равен x+y.
Биссектриса делит угол пополам, поэтому ∠ABP = 
По свойству внешнего угла из ΔAPB имеем:
∠CAB = ∠APB+∠ABP;
y = 30°+
2y = 60°+x+y;
y = 60°+x = ∠CAB.
В ΔABC, по теореме синусов, получим равенство:
3√(21)·sin(x) = √(21)·sin(60°+x);
3sin(x) = sin(60°)·cos(x)+cos(60°)·sin(x);
3sin(x) = 
·cos(x)+
·sin(x);
6sin(x)-sin(x) = 5sin(x) = √(3)·cos(x);
Если cos x = 0, то sin x = 0, но синус и косинус не могут одновременно равняться нулю, тогда поделим на cos x ≠ 0;
tg(x) = 
.
Найдём sin(x):
По основному тригонометрическому тождеству:
sin(x) = +√(3/28) т.к. 0 < x < 180°, как угол треугольника.
По теореме синусов в ΔCPB:
ответ: 9.
