Дано: трапеция ABCD равнобедренная (AD || BC ; AB =CD) AE =EB ; BF =FC ; CM=MD ; DN =NA . ----- док-ать EFMN ⇒ромб
Середины любого четырехугольника (даже не выпуклого) образуют параллелограмм. В случае равнобедренной трапеции ( поскольку диагонали равны ) этот четырехугольник будет ромб . --- EF и NM средние линии соответственно треугольников ABC и ADC. Следовательно: EF =AC/2 =NM и EF || AC , NM || AC ⇒ EF || NM . Четырехугольник EFMN параллелограмм. ΔEAN = ΔMDN (по первому признаку равенства Δ -ов) AE =AB/2 =DC/2 =DM и AN =DN =AD/2 ; ∠EAN = ∠MDN ) Значит EN = MN . Стороны параллелограмма EFMN равны⇒ EFMN -ромб. Доказано ------------------------------------------------------------------------------------------- * * * Можно и так ΔABD = ΔDCA (по первому признаку равенства Δ -ов) (AD - общее , AB =DC , ∠BAD =∠CDA * * * см фото
Ромб АВСД, АС=16, ВД=12, диагонали ромба пересекаются под углом 90 и в точке пересечения делятся пополам, АО=ОС=АС/2=16/2=8, ВО=ОД=ВД/2=12/2=6, треугольник АВО прямоугольный, АВ=ВС=СД=АД=корень((АО в квадрате+ВО в квадрате)=корень(64+36)=10, ЕФ высота, треугольник АОД прямоугольный, ОД в квадрате=ФД*АД, ФД=ОД в квадрате/АД=36/10=3,6, АФ=10-3,6=6,4, треугольник ФОД=треугольник ВОЕ как прямоугольные по гипотенузе и острому углу (ВО=ОД, уголФДО=уголОВЕ как внутренние разносторонние)ВД=ВЕ=3,6, АФ=ЕС=6,4, треугольник АОД, ОФ=корень(АФ*ФД)=корень(6,4*3,6)=4,8=ОЕ, ЕФ=ОФ+ОЕ=4,8+4,8=9,6, ФК параллельна АС, треугольник АСД подобен треугольнику ФКД по двум равным углам (уголД- общий, уголФКД=уголАСД как соответственные), ФД/АД=ФК/АС, 3,6/10=ФК/16, ФК=3,6*16/10=5,76, МЕ параллельна АС, треугольник ВМЕ подобен треугольнику АВС по двум равным углам (уголВ-общий, уголВМЕ=уголВАС как соответственные), ВЕ/ВС=МЕ/АС, 3,6/10=МЕ/16, МЕ=3,6*16/10=5,76, МЕ=ФК и МЕ параллельно ФК, теорема- если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны то четырехугольник МЕКФ параллелограмм , согласно теоремы Фалеса ФД/АД=ДК/СД, 3,6/10=ДК/10, ДК=3,6, СК=6,4, так же для стороны АВ, МВ=3,6, АМ=6,4, треугольник ВСД подобен треугольнику ЕСК по двум пропорцианальным сторонам и равному углу между ними (уголС-общий, ЕС/АС=СК/СД, 6,4/10=6,4/10, ЕС/ВС=ЕК/ВД, 6,4/10=ЕК/12, ЕК=6,4*12/10=7,68, треугольник ЕФК, ЕК в квадрате+ФК в квадрате=58,9824+33,1776=92,16, ЕФ в квадрате=9,6*9,6=92,16, если сумма квадратов двух сторон = квадрату третьей стороны то треугольник прямоугольный, треугольник ЕФК прямоугольный, уголЕКФ=90, теорема - если в параллелограмме есть прямой угол то параллелограмм прямоугольник , диагонали в прямоугольнике равны ЕФ=МК=9,6, площадьМЕКФ=ЕК*ФК=7,68*5,76=44,2368
трапеция ABCD равнобедренная (AD || BC ; AB =CD)
AE =EB ; BF =FC ; CM=MD ; DN =NA .
-----
док-ать EFMN ⇒ромб
Середины любого четырехугольника (даже не выпуклого) образуют параллелограмм. В случае равнобедренной трапеции ( поскольку диагонали равны ) этот четырехугольник будет ромб .
---
EF и NM средние линии соответственно треугольников ABC и ADC.
Следовательно:
EF =AC/2 =NM
и
EF || AC , NM || AC ⇒ EF || NM .
Четырехугольник EFMN параллелограмм.
ΔEAN = ΔMDN (по первому признаку равенства Δ -ов)
AE =AB/2 =DC/2 =DM и AN =DN =AD/2 ; ∠EAN = ∠MDN )
Значит EN = MN .
Стороны параллелограмма EFMN равны⇒
EFMN -ромб. Доказано
-------------------------------------------------------------------------------------------
* * * Можно и так ΔABD = ΔDCA (по первому признаку равенства Δ -ов)
(AD - общее , AB =DC , ∠BAD =∠CDA * * *
см фото