* * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
Найдите углы треугольника с вершинами
А(-1; √3), В(1; -√3) и С(1/2; √3).
ответ: ∠A =60° , ∠B =arccos(13/14) , ∠C =arccos(-1/7) .
Объяснение:
* * * A(x₁ ;y₁) , B(x₂ ; y₂) ⇒AB = {x₂-x₁ ;y₂-y₁ ) , |AB| =√( (x₂-x₁)² +(y₂-y₁) )* * *
* * * a*b=|a|*|b|*cos(a^b) скалярное произведение векторов * * *
* * * a*b =aₓ*bx + ay *by сумма произвед. соотв. проекции * * *
AB { 2 ; -2√3 } ⇒|AB| =4 B A { -2 ; 2√3 }
* * * |AB| =√( 2²+(-2√3)² ) =√( 4+(-2)²* (√3)² ) =√( 4+4* 3 ) =√16 =4 * * *
AC { 1,5 ; 0 } ⇒ |AC| =√( 1,5²+0² ) =1,5 CA {- 1,5 ; 0 }
BC { -0,5 ; 2√3 } ⇒ |BC| =3,5 CB { 0,5 ; -2√3 }
--------------------------------------------------------------------------------------------
AB*AC = |AB| *|AC|*cos(AB^AC) =|AB| *|AC| *cos(∠A) =4*1,5*cos(∠A)
AB*AC =2*1,5 +(-2√3)*0 = 3
4*1,5*cos(∠A) = 3 ⇔ 6cos(∠A)= 3⇒ cos(∠A) = 1/2 ⇒∠A =60°.
----------------
BA*BC = |BA|*|BC|*cos(∠B)=|AB|*|BC|*cos(∠B) =4*3,5*cos(∠B)
BA*BC= (-2)*(-0,5) +(2√3)*2√3 = 13
4*3,5*cos(∠B) =13 ⇔14cos(∠B) =13 ⇒ cos(∠B) =13/14⇒
∠B = arccos(13/14)
----------------
CA*CB = |CA|*|CB|*cos(∠C)=|AC|*|BC|*cos(∠C) =1,5*3,5*cos(∠C)
CA*CB = (-1,5)*0,5 +0*(-2√3) = -1,5*0,5
1,5*3,5*cos(∠C) = -1,5*0,5 ⇔ cos(∠C) = - 1/7 ⇒
∠C = arccos(-1/7) . ! ∠C → тупой
P.S. можно проверить
cos(∠A)+cos(∠B)+cos(∠C)=1+4sin(∠A/2)sin(∠B/2)sin(∠C/2).
1. Так как ∠BCA и ∠α - смежные, то:
∠BCA = 180° - ∠α = 180° - 153° = 27°
2. Так как по условию точка B находится на одинаковых расстояниях от точек A и C, то отрезки AB и BC будут равны, следовательно этот треугольник ABC - равнобедренный с основанием AC.
3. Так как треугольник ABC - равнобедренный, то:
∠BAC = ∠BCA = 27° (по свойству равнобедренного треугольника)
4. Так как ∠β и ∠BAC - вертикальные, а вертикальные углы равны, то:
∠β = ∠BAC = 27°
ответ:1. вид треугольника ABC - равнобедренный
2. величину ∠β = 27°