Периметр прямоугольного треугольника равен 48 см, один его катет на 4 см больше другого. чему равны стороны этого треугольника? решите с объяснением

👇

Увидеть ответ

Ответ:

FileoFISH

02.09.2022

ответ стороны 12 см, 16 см и 20 см

Решение

Стороны а,b, c

Периметр P=a+b+c

Для прямоугольного треугольника

а²+b²=c²

b=a+4

Тогда с²=а²+(а+4)²=а²+а²+8а+16=2а²+8а+16

Тогда с=

$\sqrt{2a ^{2} + 8a + 16}$

Подставим все в периметр

$a + a + 4 + \sqrt{2a ^{2} + 8a + 16 } = 48$

$2a + \sqrt{2a ^{2} + 8a + 16 } = 44$

$2a ^{2} + 8a + 16 = (44 - 2a)^{2}$

2a²+8a+16=44²—44*2*2a+4a²

2a²+8a+16=1936-176a+4a²

-2a²+184a-1920=0

Дискриминант

(184)²-4*(-2)*(-1920) =

33856-15360=18496

Корень изД=136

а=(-184±136)/(2×(-2))

а1=(-320)/-4=80

а2=(-48)/—4=12

80 не подходит, т.к. получается а>Р

Значит а=12, b=12+4=16

c= P-a-b=48-12-16=20

Проверка a²+b²=c²

144+256=400

4,4(11 оценок)

Открыть все ответы

Ответ:

Utepovabay

02.09.2022

Сегодня такая же задача была на экзамене у меня. Пусть O - точка пересечения медианы и биссектрисы. Нам нужно найти стороны AB, BC и AC.
Медиана AD делит треугольник ABC на два равных по площади треугольника : S ADC = S ADB = 1/2 S ABC.
Соединим точки E и D . Отрезок ED будет являться медианой треугольника BEC значит S DBE = S EDC .

Рассмотрим треугольник ABD : 1) В нём углы ABE и DBE равны так как BE биссектриса, но BO ещё и является высотой треугольника, так как BE ⊥ AD.
2)Поэтому треугольник ABD равнобедренный и AB = BD. 3) Медиана BO делит основание AD на два равных отрезка AO=OD=136 / 2=68.

Рассмотрим треугольники ABE и DBE: 1) В них углы ABE и DBE равны так как BE биссектриса . BE общая сторона , AB = BD 2) Треугольник ABE равен треугольнику DBE по первому признаку,поэтому S ABE = S DBE = S EDC = 1/3 S ABC.
S ABE = 1/2 * BE * AO =1/2 * 136 * 68 = 4624.
S ABC= 3 S ABE = 4624 * 3 = 13872.
S ABD = 1/2 S ABC = 13872 / 2 = 6936.
S ABD= 1/2 * AD * BO = 6936 ===> 68 * BO = 6936 = => BO = 102.

Рассмотрим треугольник ABO : 1) В нём угол BOA = 90° так как BO ⊥ AD.
2) Поэтому треугольник ABO прямоугольный и по теореме Пифагора находим AB = √(BO² + AO²)= √(10404 + 4624)= √15028= √(4 * 13 * 17 *17) = 34*√13.
Так как AD - медиана,то BD = DC = AB =34*√13. Поэтому сторона BC равна 2 * AB = 68 *√13.
Осталось найти последнюю сторону AC
Рассмотрим треугольник AEO:
1) В нём угол AOE=90 , OE= BE- BO = 136 -102 = 34.
2) Поэтому треугольник AEO прямоугольный , и по теореме пифагора находим гипотенузу AE . AE = √( 0E² + AO ²)= √( 1156 + 4624)=√5780=√(5* 4 * 17 * 17) = 17* 2 *√5 = 34*√5.

Так как BE - биссектриса, то она делит сторону AC на отрезки, которые одинаково относятся к прилегающим им сторонам AB и BС , тоесть AE/AB = EC/BC. (34 * √5) / (34 * √13) = EC / (68 * √13) . Если всё сократить и воспользоваться свойством пропорции получаем ,что EC =68 * √5 .
AC = AE + EC = (68 *√5) + (34 * √5 )=√5 * ( 68 + 34 ) = 102 * √5.

ответ : AB = 34 * √13, BC = 68 * √13, AC = 102 * √5.

4,4(80 оценок)

Ответ: