Отрезки МК и NP параллельны соседним сторонам прямоугольника, => соответственно равны им, пересекаются под прямым углом и делят АВСD на 4 прямоугольника, (неважно, равной или разной площади). Обозначим точку пересечения МК и NP буквой О.
а)
Стороны четырехугольника МNKP являются диагоналями получившихся прямоугольников и делят каждый из них пополам (свойство). Поэтому площадь MNKP равна сумме площадей этих половин, т.е. равна половине площади ABCD.
б)
Площадь выпуклого четырехугольника равна половине произведения его диагоналей на синус угла между ними.
Так как S(ABCD)=AB•CD, МК=АD и NP=AB, а sin90°=1, то S(MNKP)=MK•NP•sin90°=0,5•S(ABCD).
в)
S(MNKP)=S∆MNP+S∆NKP=0.5•MO•NP+0.5•KO•NP=0,5•NP•(MO+OK) => S(MNKP)=0,5•NP•MK =>
S(MNKP) =0,5•S(ABCD), т.к. NP=AB и МК=АD
∠АВМ = 60°.
Объяснение:
Пусть дан квадрат со стороной а. Его диагональ равна а√2.
Прямоугольный треугольник ОВМ равнобедренный, так как острые углы равны 45°.
Катет ОВ равен 1/2 диагонали квадрата =>
катет ОМ = ОВ = а√2/2 . Тогда гипотенуза равна
ВМ = √(2а²/4+2а²/4) = а.
Аналогично АМ = а, так как треугольники ОВМ и ОАМ равны по двум катетам. Треугольник АМВ равносторонний, так как
МВ = МА = АВ = а. => ∠АВМ = 60°.