Question

Рассмотрим тетраэдр ABCD. Пусть M, N, P и Q являются серединами ребер AB, BC, CD и DA соответственно. Пусть R - это точка пересечения отрезков MQ и NP. Ваша задача - доказать, что линия AR перпендикулярна плоскости MNPQ.

Answer 1

Чтобы доказать, что линия AR перпендикулярна плоскости MNPQ, мы можем воспользоваться свойством параллелограмма и треугольника.

Обратимся к треугольнику AMQ. Поскольку M и N являются серединами сторон AB и BC соответственно, то отрезок MN параллелен и равен половине отрезка AC. А по свойству параллелограмма, диагонали параллелограмма делятся пополам. Таким образом, точка R, являющаяся точкой пересечения отрезков MQ и NP, является серединой отрезка AC.

Аналогичные рассуждения можно провести для треугольников BNP, CPM и DQN, и прийти к выводу, что точка R является серединой отрезков BD, CD и AD соответственно.

Таким образом, линия AR проходит через середины всех ребер тетраэдра ABCD, а значит, она является медианой этого тетраэдра. Поскольку медиана пересекает плоскость MNPQ в ее центре (точке пересечения медиан), то линия AR будет перпендикулярна этой плоскости.

Таким образом, мы доказали, что линия AR перпендикулярна плоскости MNPQ.