Question

Элементами множества а являются натуральные числа. известно, что выражение
¬(x ∈ {1, 2, 4, 8, 16}) ∧ ¬(x ∈ {3, 4, 9, 16} ) ∨ (x ∈ a)
истинно (т. е. принимает значение 1) при любом значении переменной х.
определите наименьшее возможное количество элементов множества a.

с решением и объясните по каким правилам выполняется решение)

Answer 1

Для решения данной задачи, давайте посмотрим на каждую часть выражения отдельно и определим, какие элементы множеств могут исключаться и какие остаются в каждом случае. 1) ¬(x ∈ {1, 2, 4, 8, 16}) - это отрицание выражения "x принадлежит множеству {1, 2, 4, 8, 16}". Отрицание этого выражения означает, что x не принадлежит этому множеству. Таким образом, все числа, которые могут быть значениями x, исключаются из этого множества. В данном случае, исключаемые числа: 1, 2, 4, 8, 16. 2) ¬(x ∈ {3, 4, 9, 16}) - это отрицание выражения "x принадлежит множеству {3, 4, 9, 16}". Отрицание этого выражения означает, что x не принадлежит этому множеству. Таким образом, все числа, которые могут быть значениями x, исключаются из этого множества. В данном случае, исключаемые числа: 3, 4, 9, 16. 3) (x ∈ a) - это выражение, которое указывает, что x принадлежит множеству a. Для того чтобы выражение ¬(x ∈ {1, 2, 4, 8, 16}) ∧ ¬(x ∈ {3, 4, 9, 16} ) ∨ (x ∈ a) было истинным при любом значении x, необходимо, чтобы хотя бы одно из выражений ¬(x ∈ {1, 2, 4, 8, 16}) или ¬(x ∈ {3, 4, 9, 16}) было ложным. То есть, ни одно из этих выражений не должно исключать все возможные значения x. Из вышесказанного, исключается возможность, чтобы все числа от 1 до 16 содержались либо в множестве {1, 2, 4, 8, 16}, либо в множестве {3, 4, 9, 16}. В противном случае, одно из выражений будет всегда ложным и оно никогда не сможет быть истинным для любого значения переменной x. Теперь давайте рассмотрим, какие значения x будут ложными для каждого из двух выражений: - ¬(x ∈ {1, 2, 4, 8, 16}) будет ложным, только если x принадлежит множеству {1, 2, 4, 8, 16}. То есть, мы должны исключить все эти числа из множества a. - ¬(x ∈ {3, 4, 9, 16}) будет ложным, только если x принадлежит множеству {3, 4, 9, 16}. То есть, мы должны исключить все эти числа из множества a. Остается найти наименьшее возможное количество элементов в множестве a, при котором выполнение условий выражений будет возможным. Множество a должно содержать все числа, которые не исключаются ни первым, ни вторым выражением. То есть, множество a должно содержать все числа в интервале натуральных чисел от 1 до 16, кроме чисел 1, 2, 3, 4, 8 и 9, так как они исключаются вышеперечисленными выражениями. Таким образом, наименьшее возможное количество элементов в множестве a - это количество чисел в интервале от 1 до 16, которые не исключаются: {5, 6, 7, 10, 11, 12, 13, 14, 15}. Всего 9 чисел. Итак, наименьшее возможное количество элементов в множестве a равно 9.