Студенты 1 курса, изучающие информатику в университете, могут посещать и дополнительные дисциплины. В этом году 25 из них предпочли изучать бухгалтерию, 27 выбрали бизнес, а 12 решили заниматься туризмом. Кроме того, было 20 студентов, слушающих курс бухгалтерии и бизнеса, 5 изучали бухгалтерию и туризм, а 3 – туризм и бизнес. Известно, что никто из студентов не отважился посещать сразу 3 дополнительных курса. Сколько студентов посещали, по крайней мере, 1 дополнительный курс?
Первым шагом создадим множества для каждой из дополнительных дисциплин: А - бухгалтерия, В - бизнес, С - туризм.
По условию известно, что в этом году 25 студентов изучают бухгалтерию, 27 выбрали бизнес и 12 решили заниматься туризмом. Запишем это в виде мощностей множеств:
|А| = 25 (мощность множества А)
|В| = 27 (мощность множества В)
|С| = 12 (мощность множества С)
Также известно, что было 20 студентов, слушающих курс бухгалтерии и бизнеса (т.е. посещающих оба курса), 5 изучали бухгалтерию и туризм, а 3 – туризм и бизнес.
Из этой информации можно сделать следующие выводы:
1) |А∩В| = 20 (мощность пересечения множеств А и В)
2) |А∩С| = 5 (мощность пересечения множеств А и С)
3) |В∩С| = 3 (мощность пересечения множеств В и С)
Также известно, что никто из студентов не посещал сразу 3 дополнительных курса.
Теперь воспользуемся формулой включения-исключения, которая позволяет нам найти мощность объединения нескольких множеств:
|A∪B∪C| = |A| + |B| + |C| - |A∩B| - |A∩C| - |B∩C| + |A∩B∩C|
В нашем случае нам нужно найти мощность объединения множеств А, В и С, то есть количество студентов, посещающих хотя бы один дополнительный курс:
|A∪B∪C| = |A| + |B| + |C| - |A∩B| - |A∩C| - |B∩C| + |A∩B∩C|
Подставим известные значения:
|A∪B∪C| = 25 + 27 + 12 - 20 - 5 - 3 + |A∩B∩C|
Осталось найти мощность пересечения всех трех множеств, то есть количество студентов, посещающих все три курса (бухгалтерия, бизнес и туризм).
На данный момент у нас нет информации о количестве таких студентов, поэтому обозначим мощность пересечения трех множеств как |A∩B∩C| = х.
Теперь возвращаемся к исходному уравнению:
|A∪B∪C| = 25 + 27 + 12 - 20 - 5 - 3 + х
Но мы знаем, что никто из студентов не посещает все три курса, поэтому х = 0.
Подставляем это значение обратно в уравнение:
|A∪B∪C| = 25 + 27 + 12 - 20 - 5 - 3 + 0
Получаем:
|A∪B∪C| = 36
Таким образом, мощность объединения множеств А, В и С равна 36, что означает, что 36 студентов изучают хотя бы один дополнительный курс.