Question

"Кванторные операции над предикатами Задание 1. На множестве ℕ заданы предикаты:

а) P x : «x нечетное число»,

б) Q x : «x ⋮ 6»,

в) R x : «x2 − 7x + 6 = 0» .

Используя кванторы, получите все возможные высказывания,

расшифруйте и выясните их истинность.

Задание 2.

На множестве ℕ^2

заданы предикаты0

а) P (x; y) : «x > y» ;

б) Q (x, y) : «x ⋮ 3y» .

Используя кванторы, получите все возможные высказывания, расшифруйте и выясните их истинность.

Задание 3.

Определите тождественно истинные и тождественно ложные высказывания на

M = ℕ^2: а) ∀y P x; y : «x ≥ y»; б) ∃x P x; y : «x < y».

Задание 4.

Предикаты A (x; y) и B (y; z) определены на множестве M × M, M = {3; 4; 5; 6} .

Запишите формулу ∃yA (x; y) ∨ ∀zB (y; z) без кванторных операций.

Задание 5.

Найдите отрицание формул:

а) ∃x (P (x) ∨ Q (x)) ;

б) ∀x (P (x) ∨ ┐Q (x)) ;

в) ∃x∀y (P (x; y) ↔ Q (x; y)) ;

г) ∀x∀y (P (x; y) ↔ Q (x; y)) .

Задание 6.

Даны утверждения: A (n) : «n ⋮ 2»; B (n) : «n ⋮ 3»; C (n) : «n ⋮ 4»; D (n) : «n ⋮ 12»;

E (n) : «n ⋮ 24» .

Определите истинные и ложные высказывания:

а) ∀n (A (n) ∧ B (n) → E (n)) ;

б) ∀n (B (n) ∧ C (n) → D (n)) ;

в) ∃n (C(n) ∧ D (n) → E (n)) ;

г) ∀n (E (n) → C (n) ∧ D (n)) ;

д) ∀n (┐E (n) → B (n) ∧ D (n)).