Question

Сколько единиц в двоичной записи числа $2^{2014}-4^{650}-38$ ?

Answer 1

Для того чтобы решить эту задачу, нужно знать, как переводить числа из десятичной системы счисления в двоичную.

Переводим число $2^{2014}-4^{650}-38$ в двоичную систему счисления:

Сначала разложим число $2^{2014}-4^{650}-38$ на слагаемые:
$2^{2014}-4^{650}-38 = (2^{2014}) - (4^{650}) - 38$

Теперь переведем каждое слагаемое из десятичной системы счисления в двоичную.

1) Переводим $2^{2014}$ в двоичную систему:
Для этого представляем число $2^{2014}$ в виде суммы степеней двойки:
$2^{2014} = 2^{11}+2^{10}+2^{9}+2^{8}+2^{7}+2^{6}+2^{5}+2^{4}+2^{3}+2^{2}+2^{1}$

Теперь переведем каждое слагаемое из десятичной системы счисления в двоичную:
$2^{11} = 1000000000000, 2^{10} = 10000000000, 2^{9} = 1000000000, 2^{8} = 100000000, 2^{7} = 10000000, 2^{6} = 1000000, 2^{5} = 100000, 2^{4} = 10000, 2^{3} = 1000, 2^{2} = 100, 2^{1} = 10$

2) Переводим $4^{650}$ в двоичную систему:
Аналогично представляем число $4^{650}$ в виде суммы степеней двойки:
$4^{650} = (2^2)^{650} = 2^{1300}$

Теперь переведем число $2^{1300}$ в двоичную систему:
$2^{1300} = 1, поскольку 2^{1300} > 2^{n} для n > 0$

3) Переводим число 38 в двоичную систему:
38 в двоичной системе будет выглядеть следующим образом:
$38 = 2^5 + 2^3 + 2^1 = 100110$

Теперь сложим двоичные представления каждого слагаемого:
$2^{11}+2^{10}+2^{9}+2^{8}+2^{7}+2^{6}+2^{5}+2^{4}+2^{3}+2^{2}+2^{1} + 1 + 100110$

Произведем сложение, учитывая удвоение значимых разрядов при переносе:
$1100000000001 + 10000000000 + 1000000000 + 100000000 + 10000000 + 1000000 + 100000 + 10000 + 1000 + 100 + 10 + 1 + 100110$

Результат сложения:
$1100000000001 + 10000000000 + 1000000000 + 100000000 + 10000000 + 1000000 + 100000 + 10000 + 1000 + 100 + 10 + 1 + 100110 = 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1110$

Таким образом, в двоичной записи числа $2^{2014}-4^{650}-38$ содержится 425 единиц.