Question

Между населёнными пунк­та­ми A, B, C, D по­стро­е­ны до­ро­ги, про­тяжённость ко­то­рых (в ки­ло­мет­рах) при­ве­де­на в таб­ли­це. A B C D
A 2 7 4
B 2 5 1
C 7 5 2
D 4 1 2

Опре­де­ли­те длину крат­чай­ше­го пути между пунк­та­ми A и C. Пе­ре­дви­гать­ся можно толь­ко по до­ро­гам, про­тяжённость ко­то­рых ука­за­на в таб­ли­це.
​

Answer 1

Для решения этой задачи мы можем использовать алгоритм Дейкстры, который позволяет найти кратчайший путь между двумя вершинами во взвешенном графе. Шаг 1: Построение таблицы инициализации Начнем с вершины A и создадим таблицу с тремя столбцами: "Вершина", "Расстояние" и "Предшественник". Запишем в таблицу все вершины, кроме A, и установим расстояние до них как бесконечность (если расстояние между A и вершиной есть, то записываем его). Установим начальное расстояние до вершины A равным 0. | Вершина | Расстояние | Предшественник | |---------|------------|----------------| | B | Бесконеч. | NULL | | C | Бесконеч. | NULL | | D | Бесконеч. | NULL | Шаг 2: Выбор вершины с минимальным расстоянием Из таблицы выбираем вершину с минимальным расстоянием. В данном случае это вершина A. Помечаем ее как посещенную. | Вершина | Расстояние | Предшественник | |---------|------------|----------------| | B | Бесконеч. | NULL | | C | Бесконеч. | NULL | | D | Бесконеч. | NULL | | A | 0 | NULL | Шаг 3: Обновление расстояний Для каждой вершины, смежной с A, проверяем, можно ли добраться до нее с меньшим расстоянием через вершину A. Если можно, то обновляем расстояние и предшественника в таблице. Для вершины B: Расстояние через A до B будет 2 (расстояние от A до B), обновляем таблицу. | Вершина | Расстояние | Предшественник | |---------|------------|----------------| | B | 2 | A | | C | Бесконеч. | NULL | | D | Бесконеч. | NULL | | A | 0 | NULL | Для вершины C: Расстояние через A до C будет 4 (расстояние от A до C), обновляем таблицу. | Вершина | Расстояние | Предшественник | |---------|------------|----------------| | B | 2 | A | | C | 4 | A | | D | Бесконеч. | NULL | | A | 0 | NULL | Для вершины D: Расстояние через A до D будет 4 (расстояние от A до D), обновляем таблицу. | Вершина | Расстояние | Предшественник | |---------|------------|----------------| | B | 2 | A | | C | 4 | A | | D | 4 | A | | A | 0 | NULL | Шаг 4: Выбор следующей вершины с минимальным расстоянием Выбираем следующую вершину с минимальным расстоянием из еще не посещенных вершин. В данном случае это вершина B. | Вершина | Расстояние | Предшественник | |---------|------------|----------------| | B | 2 | A | | C | 4 | A | | D | 4 | A | | A | 0 | NULL | Шаг 5: Обновление расстояний Для каждой вершины, смежной с вершиной B, проверяем, можно ли добраться до нее с меньшим расстоянием через вершину B. Если можно, то обновляем расстояние и предшественника в таблице. Для вершины C: Расстояние через B до C будет 5 (расстояние от B до C через A), обновляем таблицу. | Вершина | Расстояние | Предшественник | |---------|------------|----------------| | B | 2 | A | | C | 5 | B | | D | 4 | A | | A | 0 | NULL | Для вершины D: Расстояние через B до D будет 7 (расстояние от B до D через A), обновляем таблицу. | Вершина | Расстояние | Предшественник | |---------|------------|----------------| | B | 2 | A | | C | 5 | B | | D | 7 | B | | A | 0 | NULL | Шаг 6: Выбор следующей вершины с минимальным расстоянием Выбираем следующую вершину с минимальным расстоянием из еще не посещенных вершин. В данном случае это вершина C. | Вершина | Расстояние | Предшественник | |---------|------------|----------------| | B | 2 | A | | C | 5 | B | | D | 7 | B | | A | 0 | NULL | Шаг 7: Обновление расстояний Для каждой вершины, смежной с вершиной C, проверяем, можно ли добраться до нее с меньшим расстоянием через вершину C. Если можно, то обновляем расстояние и предшественника в таблице. Для вершины D: Расстояние через C до D будет 5 (расстояние от C до D), обновляем таблицу. | Вершина | Расстояние | Предшественник | |---------|------------|----------------| | B | 2 | A | | C | 5 | B | | D | 5 | C | | A | 0 | NULL | Шаг 8: Выбор следующей вершины с минимальным расстоянием Выбираем следующую вершину с минимальным расстоянием из еще не посещенных вершин. В данном случае это вершина D. | Вершина | Расстояние | Предшественник | |---------|------------|----------------| | B | 2 | A | | C | 5 | B | | D | 5 | C | | A | 0 | NULL | Шаг 9: Обновление расстояний Для каждой вершины, смежной с вершиной D, проверяем, можно ли добраться до нее с меньшим расстоянием через вершину D. Если можно, то обновляем расстояние и предшественника в таблице. Для вершины B: Расстояние через D до B будет 4 (расстояние от D до B), обновляем таблицу. | Вершина | Расстояние | Предшественник | |---------|------------|----------------| | B | 4 | D | | C | 5 | B | | D | 5 | C | | A | 0 | NULL | Шаг 10: Выбор следующей вершины с минимальным расстоянием Выбираем следующую вершину с минимальным расстоянием из еще не посещенных вершин. В данном случае это вершина B. | Вершина | Расстояние | Предшественник | |---------|------------|----------------| | B | 4 | D | | C | 5 | B | | D | 5 | C | | A | 0 | NULL | Шаг 11: Обновление расстояний Для каждой вершины, смежной с вершиной B, проверяем, можно ли добраться до нее с меньшим расстоянием через вершину B. Если можно, то обновляем расстояние и предшественника в таблице. Для вершины C: Расстояние через B до C будет 5 (расстояние от B до C через D), обновляем таблицу. | Вершина | Расстояние | Предшественник | |---------|------------|----------------| | B | 4 | D | | C | 5 | B | | D | 5 | C | | A | 0 | NULL | Шаг 12: Выбор следующей вершины с минимальным расстоянием Выбираем следующую вершину с минимальным расстоянием из еще не посещенных вершин. В данном случае это вершина C. | Вершина | Расстояние | Предшественник | |---------|------------|----------------| | B | 4 | D | | C | 5 | B | | D | 5 | C | | A | 0 | NULL | Шаг 13: Обновление расстояний Для каждой вершины, смежной с вершиной C, проверяем, можно ли добраться до нее с меньшим расстоянием через вершину C. Если можно, то обновляем расстояние и предшественника в таблице. Для вершины D: Расстояние через C до D будет 5 (расстояние от C до D), обновляем таблицу. | Вершина | Расстояние | Предшественник | |---------|------------|----------------| | B | 4 | D | | C | 5 | B | | D | 5 | C | | A | 0 | NULL | Шаг 14: Выбор следующей вершины с минимальным расстоянием Выбираем следующую вершину с минимальным расстоянием из еще не посещенных вершин. В данном случае это вершина D. | Вершина | Расстояние | Предшественник | |---------|------------|----------------| | B | 4 | D | | C | 5 | B | | D | 5 | C | | A | 0 | NULL | Шаг 15: Обновление расстояний Для каждой вершины, смежной с вершиной D, проверяем, можно ли добраться до нее с меньшим расстоянием через вершину D. Если можно, то обновляем расстояние и предшественника в таблице. Для вершины B: Расстояние через D до B будет 4 (расстояние от D до B через C), обновляем таблицу. | Вершина | Расстояние | Предшественник | |---------|------------|----------------| | B | 4 | D | | C | 5 | B | | D | 5 | C | | A | 0 | NULL | Шаг 16: Выбор следующей вершины с минимальным расстоянием Выбираем следующую вершину с минимальным расстоянием из еще не посещенных вершин. В данном случае это вершина B. | Вершина | Расстояние | Предшественник | |---------|------------|----------------| | B | 4 | D | | C | 5 | B | | D | 5 | C | | A | 0 | NULL | В этот момент все вершины уже посещены и таблица завершена. Последняя строка таблицы соответствует вершине C и ее кратчайшее расстояние равно 5. Таким образом, длина кратчайшего пути между пунктами A и C составляет 5 километров.