На числовой прямой даны два отрезка: P = [10, 20] и Q = [5, 15]. Выберите такой отрезок A, что формула ( (x ∈ P) → (x ∈ Q) ) \/ (x ∈ A)
тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х.
1) [10, 15] 2) [20, 35] 3) [15, 22] 4)[12, 18]
Исходные отрезки P = [10, 20] и Q = [5, 15] на числовой прямой выглядят следующим образом:
P: [---------------------]
Q: [---------------------]
Сначала разберемся с левой частью формулы: (x ∈ P) → (x ∈ Q).
Это означает, что для любого значения x, принадлежащего отрезку P, должно выполняться условие, что x также принадлежит отрезку Q. По условию задачи отрезок P = [10, 20], а отрезок Q = [5, 15], поэтому значения x должны находиться в интервале от 10 до 20, и при этом должны быть внутри отрезка Q = [5, 15]. Или другими словами, значения x должны быть в интервале от 10 до 15.
Теперь рассмотрим правую часть формулы: (x ∈ A).
Если мы хотим, чтобы формула всегда была истинна, то A должен включать в себя все числа, которые не входят в отрезок Q, а также все числа, которые не входят в отрезок P. Это можно представить с помощью диаграммы Венна.
P: [---------------------]
Q: [---------------------]
A: [--------------------------]
Исходя из этой диаграммы Венна, видно, что отрезок A должен иметь значения, которые находятся в интервале от 15 до 20, а также от 0 до 5. Таким образом, отрезок A = [0, 5] объединенный с [15, 20].
Теперь, чтобы выбрать правильный ответ, сравним найденные интервалы с вариантами ответов:
1) [10, 15]: Вариант 1 неправильный, так как он содержит числа, которые входят в отрезок P.
2) [20, 35]: Вариант 2 неправильный, так как он содержит числа, которые выходят за пределы отрезка P.
3) [15, 22]: Вариант 3 неправильный, так как он содержит числа, которые входят в отрезок P.
4) [12, 18]: Вариант 4 правильный, так как он содержит только числа, которые не входят ни в отрезок P, ни в отрезок Q.
Таким образом, правильный ответ на задачу составляет 4) [12, 18].