Question

С ИНФОРМАТИКОЙ, У исполнителя Альфа две команды, которым присвоены номера:
1. прибавь 1
2. умножь на b
(b - неизвестное натуральное число; b ≥ 2) Выполняя первую из них, Альфа увеличивает число на экране на 1, а выполняя вторую, умножает это число на b. Известно, что программа 11221 переводит число 4 в число 217. Определите значение b.
У исполнителя Альфа две команды, которым присвоены номера:
1. прибавь 2
2. умножь на b
(b - неизвестное натуральное число; b ≥ 2) Выполняя первую из них, Альфа увеличивает число на экране на 2, а выполняя вторую, умножает это число на b. Известно, что программа 12121 переводит число 3 в число 194. Определите значение b.

Answer 1

1. b = 6

2. b = 6

Объяснение:

1.

Команды:

1. прибавь 1 (+ 1)

2. умножь на b (* b)

(b - неизвестное натуральное число; b ≥ 2)

Программа 11221 переводит число 4 в число 217

Распишем программу по действиям:

1) 4 + 1 = 5

2) 5 + 1 = 6

3) 6 * b = 6b

4) 6b * b = 6b^2

5) 6b^2 + 1 = 6b^2 + 1

Составим уравнение и решим его:

6b^2 + 1 = 217

6b^2 = 216

b^2 = 36

b = 6 (берём это значение, т.к. b ≥ 2)

Проверка:

1) 4 + 1 = 5

2) 5 + 1 = 6

3) 6 * 6 = 36

4) 36 * 6 = 216

5) 216 + 1 = 217

2.

Команды:

1. прибавь 2 (+ 2)

2. умножь на b (* b)

(b - неизвестное натуральное число; b ≥ 2)

Программа 12121 переводит число 3 в число 194

Распишем программу по действиям:

1) 3 + 2 = 5

2) 5 * b = 5b

3) 5b + 2 = 5b + 2

4) (5b + 2) * b = 5b^2 + 2b

5) 5b^2 + 2b + 2 = 5b^2 + 2b + 2

Составим уравнение и решим его:

5b^2 + 2b + 2 = 194

5b^2 + 2b - 192 = 0

D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 * 5 * (-192) = 4 + 3840 = 3844

b = (-b + корень квадратный из (D)) / 2a = (-2 + корень квадратный из (3844)) / (2 * 5) = 60 / 10 = 6 (берём это значение, т.к. b ≥ 2)

Проверка:

1) 3 + 2 = 5

2) 5 * 6 = 30

3) 30 + 2 = 32

4) 32 * 6 = 192

5) 192 + 2 = 194

Answer 2

Для решения этой задачи, нам необходимо использовать метод обратной подстановки.
Изначально у нас есть две программы Альфа, которые преобразуют число 4 в 217 и число 3 в 194 соответственно.

Рассмотрим первую программу: 11221.

Мы знаем, что при выполнении первой команды, число увеличивается на 1. Поэтому, проделав первую команду два раза, мы получим число, равное 2^(количество первых команд + 1).

Тогда, выполнение первой программы приводит к следующим преобразованиям:

4 -> 5 -> 6 -> 7 -> 8 -> 9 -> 10

Теперь рассмотрим вторую команду этой программы, умножение числа на b.

Мы знаем, что при выполнении второй команды, число умножается на b. Поэтому, проделав вторую команду два раза, мы получим число, равное (исходное число * b^количество вторых команд).

Тогда, выполнение первой программы приводит к следующему преобразованию:

10 -> 20 -> 40 -> 80 -> 160 -> 320 -> 640

Из условия задачи мы знаем, что число 4 преобразуется в 217, путем выполнения этой программы. Поэтому, мы можем записать следующее уравнение:

2^(количество первых команд + 1) * (исходное число * b^количество вторых команд) = 217

Ближайшее значение 2^n, которое разделит 217 без остатка, равно 128, и оно соответствует степени 2^7, поэтому количество первых команд равно 6.

Теперь мы должны подобрать значение b.

Подставим известные значения в уравнение:

2^7 * (4 * b^количество вторых команд) = 217

2^7 * (4 * b^количество вторых команд) = 128 * 2^2 + 1

2^7 * (4 * b^количество вторых команд) = 512 + 1

2^7 * (4 * b^количество вторых команд) = 513

Теперь мы должны найти значение b, чтобы это уравнение выполнилось.

Так как ближайшее к числу 513 значение 2^k, равно 512 (это степень 2^9), то количество вторых команд равно 7.

Подставим известные значения в уравнение:

2^7 * (4 * b^7) = 513

2^7 * 4 * b^7 = 513

2^10 * b^7 = 513

1024 * b^7 = 513

b^7 = 513/1024

b^7 = 1/2

Теперь найдем значение b. Получаем корень 7-й степени из числа 1/2:

b = (513/1024)^(1/7)

b ≈ 0.8725

Таким образом, значение b при выполнении первой программы равно приблизительно 0.8725.

Перейдем к решению второй задачи с программой 12121.

Аналогично предыдущему решению, у нас есть две команды: прибавление числа 2 и умножение на b.

Путем выполнения этих команд мы должны преобразовать число 3 в число 194.

Проделав аналогичные шаги, мы приходим к следующиму уравнению:

2^(количество первых команд + 1) * (исходное число * b^количество вторых команд) = 194

Ближайшее значение 2^n, которое разделит 194 без остатка, равно 128, и оно соответствует степени 2^7, поэтому количество первых команд равно 6.

Теперь мы должны подобрать значение b.

Подставим известные значения в уравнение:

2^6 * (3 * b^количество вторых команд) = 194

2^6 * (3 * b^количество вторых команд) = 128 * 1 + 64 * 2 + 1 * 1

2^6 * (3 * b^количество вторых команд) = 128 + 128 + 1

2^6 * (3 * b^количество вторых команд) = 257

Так как ближайшее к числу 257 значение 2^k, равно 256 (это степень 2^8), то количество вторых команд равно 8.

Подставим известные значения в уравнение:

2^6 * (3 * b^8) = 257

2^6 * 3 * b^8 = 257

2^9 * b^8 = 257

512 * b^8 = 257

b^8 = 257/512

b^8 = 1/2

Теперь найдем значение b. Получаем корень 8-й степени из числа 1/2:

b = (257/512)^(1/8)

b ≈ 0.8785

Таким образом, значение b при выполнении второй программы равно приблизительно 0.8785.

Итак, значение b в первой программе равно примерно 0.8725, а во второй программе - примерно 0.8785.