1. _ _ _
(A&B&B) v (A&A) v (B&C&C)
_ _ _
B &B = 0; A &A = 0; C &C = 0 - при любых значениях.
Отсюда:
_ _ _
(A&B&B) v (A&A) v (B&C&C)=(A&0) v (0) v (B&0)=0v0v0 При любых значенях. Значит, выражение тождественно-ложно.
2.
_ _
а) A v (A&B)=(A v A) & (A v B)=1&(A v B)=A v B (см. рис1)
_ _ _ _ _ _ _ _
б) (A v B)&( B v A)&(C v B) =(A&B v A&A v B&B v A&B)(C v B)=(A&(B v B)vA)(C vB)=A&(C v B) (см.рис2)
1) (A & B & ¬ B) v (A & ¬ A) v (B & C & ¬ C)
По законам логики высказывание и его отрицание всего дают при логическом умножении 0
B & ¬ B = 0
A & ¬ A = 0
C & ¬ C = 0
Значит
(A & B & ¬ B) v (A & ¬ A) v (B & C & ¬ C) = (A & 0) v 0 v (B & 0)
Для того чтобы конъюнкция была истинна, нужно чтобы оба высказывания входящие в состав сложного были истинны, следовательно:
A & 0 = 0
B & 0 = 0
Значит:
(A & 0) v 0 v (B & 0) = 0 v 0 v 0 = 0 - дизъюнкция может быть истинна, когда хотя бы одно высказывание входящее в состав сложного должно быть истинно
A & B & ¬ B) v (A & ¬ A) v (B & C & ¬ C) = 0 - выражение тождественно-ложное при любых значениях переменных
2) а) A v ( ¬ A & B) = А ⋁ В
А В ¬ A ¬ A & B A v ( ¬ A & B) А ⋁ В
0 0 1 0 0 0
0 1 1 1 1 1
1 0 0 0 1 1
1 1 0 0 1 1
б) (A v B) & ( B v A) & (C v B) = (A v B) & (C v B) = В ⋁ (А ⋀ С)
От перестановки слагаемых сумма не изменяется (A v B) & ( B v A) = A v B
А В С A v B C v B (A v B) & (C v B) А ⋀ С В ⋁ (А ⋀ С)
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 1 0 1 0 0 0
0 1 0 1 1 1 0 1
0 1 1 1 1 1 0 1
1 0 0 1 0 0 0 0
1 0 1 1 1 1 1 1
1 1 0 1 1 1 0 1
1 1 1 1 1 1 1 1
Значит упрощение было проведено верно.
б) (A v B) & ( ¬ B v A) & ( ¬ C v B)
(A v B) & ( ¬ B v A) = А
Значит
А & ( ¬ C v B)
А В С A v B ¬ B v A ¬ C v B (A v B) & ( ¬ B v A) & ( ¬ C v B)
0 0 0 0 1 1 0
0 0 1 0 1 0 0
0 1 0 1 0 1 0
0 1 1 1 0 1 0
1 0 0 1 1 1 1
1 0 1 1 1 0 0
1 1 0 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1
А В С ¬ C v B А & ( ¬ C v B)
0 0 0 1 0
0 0 1 0 0
0 1 0 1 0
0 1 1 1 0
1 0 0 1 1
1 0 1 0 0
1 1 0 1 1
1 1 1 1 1