Question

очень надо умоляю это информатика

Answer 1

Векторне зображеня — це зображення, що складається з простих геометричних об'єктів (ліній, кіл, кривих, багатокутників), які можна описати математичними рівняннями:

точку задають парою координат (x, y);

пряму лінію можна задати одним з 8 загальновживаних рівнянь прямої, наприклад, лінійним рівнянням загального вигляду:

Ax + By + C = 0;

коло задають координатами центру (x0, y0) та його радіусом r. Рівняння кола має такий вигляд:

(x – x0)2 + (y – y0)2 = r 2;

прямокутник задають координатами протилежних вершин (x1, y1) і (x2, y2);

криву 2-го порядку (параболу, гіперболу, еліпс, пару прямих) задають рівнянням 2-го степеня:

a11x2 + 2a12xy + a22y2 + 2b1x + 2b2y + c = 0.

Степінь рівняння не змінюється при лінійних замінах координат. У тому числі при переході від однієї прямокутної системи координат до іншої. Для опису кривої 2-го порядку, як бачимо, достатньо п'яти параметрів — відношень коефіцієнтів до одного з них, відмінного від нуля. Якщо потрібно задати відрізок кривої, знадобляться ще два параметри.

криву 3-го порядку задають рівнянням з 10-ма параметрами-коефіцієнтами, але фактично достатньо 9-ти відношень коефіцієнтів до одного з них, відмінного від нуля. На відміну від кривої 2-го порядку, крива 3-го порядку може мати точки перегину. Саме ця особливість дозволяє зробити криві третього порядку основою відображення природних об'єктів у векторній графіці.

Крива Без'є (Bezier) 3-го порядку — особливий, спрощений вид кривих 3-го порядку.

Побудова кривої Без'є за опорними точками P0, P1, P2, P3

У наступних рівняннях дії з точками потрібно розуміти як дії з їхніми координатами:

A(xA; yA) + B(xB; yB) = C(xA + xB; yA + yB);

r · D(x; y) = F(r · x; r · y),

тобто як дії з векторами, спрямованими з початку координат у ці точки. Нехай дійсне число t, що виконує роль часу, зростає від 0 до 1. Позначимо:

A =(1 – t) · P0 + t · P1 — точка, що рухається від P0 до P1;

B =(1 – t) · P1 + t · P2 — точка, що рухається від P1 до P2;

C =(1 – t) · P2 + t · P3 — точка, що рухається від P2 до P3;

D =(1 – t) · A + t · B — точка, що рухається від A до B;

F =(1 – t) · B + t · C — точка, що рухається від B до C;

P =(1 – t) · D + t · F — точка кривої Без'є, що рухається від D до F і від P0 до P3.

У перших трьох випадках рух є прямолінійним і рівномірним за часом t — див. малюнок нижче, запозичений зі сторінки Вікіпедії.



На малюнку зафарбовано: відрізки AB, BC — зеленим, відрізок DF — синім, криву Без'є (траекторію точки P) — червоним.

Зробивши всі потрібні підстановки в останнє рівняння, отримаємо:

Р = (1 – t)3 · P0 + 3t(1 – t)2 · P1 + 3t2(1 – t) · P2 + t3 · P3.

Лінія починається при t = 0 у точці P0 з напрямом руху у точку P1. Пряма, дотична до кривої у точці P0, проходить через P1.

Лінія лінія завершується при t = 1 у точці P3 з напрямом руху від точки P2. Пряма