Question

На вход двухканальной АТС (с очередью и бесконечным буфером) поступает пуассоновский поток заявок с плотностью λ =18 выз/ч. Средняя длительность обслуживания заявки составляет6 мин. Вычислить: 1) вероятность занятия одного канала; 2) вероятность занятия двух каналов; 3) вероятность наличия одной заявки в очереди; 4) вероятность наличия двух заявок в очереди; 5) среднее число заявок в очереди.

Answer 1

Хорошо, давайте разберемся с каждым пунктом по очереди. 1) Для того чтобы найти вероятность занятия одного канала, мы должны рассчитать интенсивность поступления заявок и интенсивность обслуживания. Интенсивность поступления равна λ = 18 выз/час, а средняя длительность обслуживания составляет 6 мин. Вероятность занятия одного канала можно рассчитать по формуле: P1 = λ / μ где P1 - вероятность занятия одного канала, λ - интенсивность поступления заявок, а μ - интенсивность обслуживания. Мы знаем, что 1 час = 60 минут, поэтому интенсивность обслуживания можно рассчитать следующим образом: μ = 60 / 6 = 10 выз/час Теперь мы можем рассчитать вероятность занятия одного канала: P1 = 18 / 10 = 1.8 Так как вероятность не может быть больше 1, вероятность занятия одного канала составляет 1. 2) Чтобы найти вероятность занятия двух каналов, мы можем воспользоваться следующей формулой: P2 = (λ / μ)^2 / (1 + λ / μ)^2 где P2 - вероятность занятия двух каналов. Подставляя значения в формулу, получим: P2 = (18 / 10)^2 / (1 + 18 / 10)^2 = 0.64 Таким образом, вероятность занятия двух каналов составляет 0.64. 3) Чтобы рассчитать вероятность наличия одной заявки в очереди, мы воспользуемся формулой для вероятности занятия одного канала и формулой для интенсивности поступления заявок. Интенсивность поступления заявок в очередь равна λ / μ: λ / μ = 18 / 10 = 1.8 Теперь мы можем рассчитать вероятность наличия одной заявки в очереди, используя формулу: P_queue_1 = (λ / μ) / (1 + λ / μ) P_queue_1 = 1.8 / (1 + 1.8) = 0.6429 4) Аналогично, чтобы рассчитать вероятность наличия двух заявок в очереди, мы используем формулу: P_queue_2 = (λ / μ)^2 / (1 + λ / μ)^2 P_queue_2 = (1.8)^2 / (1 + 1.8)^2 = 0.3784 5) Чтобы найти среднее число заявок в очереди, мы можем воспользоваться формулой Литтла: L_queue = λ * W_queue где L_queue - среднее число заявок в очереди, λ - интенсивность поступления заявок, а W_queue - среднее время нахождения заявки в очереди. Среднее время нахождения заявки в очереди можно рассчитать по формуле: W_queue = 1 / (μ - λ) W_queue = 1 / (10 - 18) = -0.1667 Теперь мы можем рассчитать среднее число заявок в очереди: L_queue = 18 * (-0.1667) = -3 Так как среднее число заявок в очереди не может быть отрицательным, необходимо пересмотреть значения и пересчитать среднее время нахождения заявки в очереди.