Question

Доказать равносильность: XY→ Z ≡ X¯ v Y¯ v Z

Answer 1

Для доказательства равносильности выражений XY→Z и X̅vY̅vZ, нам нужно показать, что они имеют одинаковую логическую таблицу и представляют одно и то же высказывание при любых значениях переменных X, Y и Z.

Давайте начнем с построения логической таблицы для выражения XY→Z:
```
| X | Y | Z | XY→Z |
|---|---|---|------|
| 0 | 0 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 |
```
Теперь давайте построим логическую таблицу для выражения X̅vY̅vZ:
```
| X | Y | Z | X̅vY̅vZ |
|---|---|---|--------|
| 0 | 0 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 1 |
| 1 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 |
```
Как видите, логические таблицы обоих выражений идентичны. Это указывает на то, что выражения XY→Z и X̅vY̅vZ равносильны. Они будут иметь одинаковые значения и представлять одно и то же высказывание при любых значениях переменных X, Y и Z.

Обоснование:

В выражении XY→Z, XY является условием (предпосылкой), а Z является заключением. Это высказывание говорит нам, что если XY истинно, то Z также должно быть истинным. Если XY ложно, то значение Z не имеет значения.

В выражении X̅vY̅vZ, X̅vY̅ говорит нам, что если и X и Y ложны, то это высказывание будет истинным, иначе оно будет ложным. Затем, добавляем значение Z. Если выражение было верно до добавления Z, то оно будет оставаться верным, независимо от значения Z. В противном случае, если выражение было ложным до добавления Z, оно все равно будет ложным, вне зависимости от значения Z.

Это обоснование показывает, что оба выражения представляют одинаковое логическое утверждение и будут иметь одинаковые значения при любых значениях переменных X, Y и Z. Поэтому мы можем сделать вывод о равносильности выражений XY→Z и X̅vY̅vZ.