Question

1) запись числа 256 в системе счисления с основание n содержит 3 цифры и оканчивается на 4. чему равно минимальное возможное основание системы счисления. 2) 100 (в 7 системе счисления) + x=230 (в 5 системе счисления) 3) в некоторой системе счисления записи десятичных чисел 56 и 124 заканчиваются на 5. определить основание системы счисления. 4) сколько единиц в двоичной записи числа 8 (в 1014 степени) - 2 (в 530 степени) - 12

Answer 1

1. В системе счисления по основанию n для числа, заканчивающегося цифрой 4, будет верно $256_{10}=an^2+bn+4$
Конечно, можно такое уравнение решить методом подбора, но это неэффективно.
Минимальное четырехзначное число в системе счисления по любому основанию n записывается как 1000 и оно равно n³. Найдем это n для случая, когда наше число 256 станет четырехзначным: n=∛256 ≈ 6.35.
Следовательно, n не может быть меньше 7.
Вспомним, как мы переводим число из десятичной системы счисления в систему по основанию n. Мы делим наше число "в столбик" на основание системы n, потом записываем остаток, частное снова делим... А в конце к результату приписываем остатки в обратном порядке. Последней цифрой числа буде как раз остаток от первого деления. А у нас по условию он равен 4. Т.е. когда мы разделим 256 на n, то остаток будет равен 4. Тогда число на 4 меньшее, чем 256, должно делиться на n нацело. Начинаем работать с числом 265-4=252.
Разложим его на простые множители: 256=1х2х2х3х3х7. Мы выше отметили, что основание системы n не может быть меньше 7. А у нас как раз есть семерка среди делителей. Попробуем перевести 256 в систему счисления по основанию 7:
256 / 7 = 36, остаток 4 (кто бы сомневался!)
36 / 7 = 5, остаток 1.
Записываем результат: 514₇
И проверяем наше самое первое уравнение.
5х7²+1х7¹+4=5х49+7+4=245+11=256₁₀.
ответ: минимально возможное основание системы счисления- 7

2. 100₇+х=230₅
Поскольку про систему счисления х ничего не сказано, считаем, что она десятичная. Переводим все в десятичную систему и решаем уравнение.
100₇=1х7²=49; 230₅=2х5²+3х5=50+15=65;
49+х=65 ⇒ х=65-49=16
ответ: х=16

3. Вспоминаем написанное в первой задаче. Если число в некоторой системе счисления оканчивается на 5, то оно дает 5 в остатке при делении на основание этой системы счисления. Тогда числа 56-5=51 и 124-5=119 должны делиться нацело на основание системы счисления.
51=1х3х17; 119=1х7х17
НОД обоих чисел равен 17 - это и есть основание системы счисления.
ответ: основание системы счисления равно 17

4. Определение количества единиц в двоичной записи числа
$n=8^{1014}-2^{520}-12=2^{3\cdot1014}-2^{520}-12=2^{3042}-2^{520}-12$
Число 2³⁰⁴² в двоичной системе будет представляться единицей с 3042 нулями. Число 2⁵³⁰ - соответственно единицей с 530 нулями. Вполне понятно, что последние 530 нулей в результате так нулями и останутся. А вот из 531-го справа нуля нужно будет вычитать единицу. как всегда, придется "занимать" единичку из старших разрядов. Для понимания происходящего рассмотрим более короткий пример:
   1000000
-        1000
--------------
      111000
Мы видим, что начиная с позиции единичного разряда в вычитаемом слева каждый ноль заменился на единицу. В нашем случае в позициях с 531 по 3042 появятся единицы. Их будет 3042-531+1=2512.
Осталось вычесть из результата 12₁₀=1100₂. Тоже посмотрим на "коротком" примере:
   100000000
-            1100
-----------------
      11110100
В исходном числе была одна единица, а в результате их стало на три меньше, чем было нулей. У нас нулей было 530, следовательно, вместо них станет 530-3=527 единиц
А всего в числе будет 2512+527-1=3038 единиц. Почему отняли одну? Мы ведь для второго вычитания должны были единичку "занять". Вот и получился среди единичек в далеком 531-м разряде ноль.
ответ: 3038 единиц