Question

Исполнитель увеличитель345 преобразует число, записанное на экране. у исполнителя три команды, которым присвоены номера: 1. прибавь 3 2. прибавь 4 3. прибавь 5 первая из них увеличивает число на экране на 3, вторая увеличивает это число на 4, а третья – на 5. программа для исполнителя увеличитель345 – это последовательность команд. определите, сколько существует программ, преобразующих число 22 в число 80. можно решать как с электронной таблицы, так и путем составления программы.

Answer 1

//Ruby 22

def factorial(n)
    f = 1;
    for i in 1..n; f *= i; end;
    f
end

n=0

for i in 0..80/3
    for j in 0..80/4
        for k in 0..80/5
            if 22+3*i+4*j+5*k==80
                nn = factorial(i+j+k)/factorial(i)/factorial(j)/factorial(k)
                n+=nn
                p [i,j,k]

            end
        end
    end
end
p n

Как работает программа:
Сначала мы находим получить из 22 число 80. Для удобства шаги мы упорядочеваем: сначала прибавляем тройки, потом четверки, потом пятерки. Ищем все возможные наборы (i, j, k) которые отвечают равенству 22 + 3i + 4j + 5k = 80. Для каждого такого набора высчитываем кол-во перестановок с повторениями и суммируем их. 
ответ 3174448

Answer 2

Можно решать задачу по-другому, используя динамическое программирование.
Обозначим F[n] - число получить число n и положим F[18]=F[19]=F[20]=F[21]=0, а F[22]=1. Тогда F[k] = F[k-3]+F[k-4]+F[k-5] для любого k >= 23.
(Почему так? Возьмём некоторое число k. Его можно получить из чисел k-3, k-4, k-5 путём прибавления тройки, четвёрки и пятёрки соответственно, притом если мы договорились, например, что последней операцией будем прибавление пятёрки, то число получить число k будет равно числу получить k-5, ведь последнюю операцию мы определим однозначно. Поэтому число получить k - сумма количеств получить k-3, k-4 и k-5)
Итак, F[k] = F[k-3]+F[k-4]+F[k-5], F[18]=F[19]=F[20]=F[21]=0 и F[22]=1. По этой рекуррентной формуле можно даже посчитать вручную (это будет немного долго), или воспользоваться компьютером. Например, на python 3 можно написать такую программу:
a = [0] * 5;n = 22;a[n % 5] = 1;while n < 80:    n += 1;    a[n % 5] = a[(n-3) % 5] + a[(n-4) % 5] + a[(n-5) % 5]print(a[n % 5])

ответ: 3174448