Question

{как-то раз, придя домой со школы, света обнаружила записку от мамы, в которой она просила сделать салат. света знала, что салат – это смесь двух или более ингредиентов, поэтому ей не составило труда выполнить мамину но света хочет стать , поэтому, для тренировки, решила посчитать, сколько различных салатов она сможет сделать из имеющихся продуктов (майонез, огурцы, помидоры). после небольших расчетов она получила ответ: 4. зная, что вы любите интересные , и хотите стать программистами, света попросила вас написать программу, которая определяет количество различных салатов для произвольного числа ингредиентов.}подскажите формулу

Answer 1

Количество различных салатов R, которые можно приготовить, имея n продуктов и беря для приготовления k из них (k=2,3,... n-1), в математике определяется, как число размещений из n по k и определяется по следующей формуле:
$\displaystyle C_n^k= \frac{n!}{k!(n-k)!}$
Формула красивая, короткая, но неудобная для вычисления. В самом деле, надо найти три факториала, каждый из которых может оказаться достаточно большим числом. Но можно сделать небольшое преобразование и упростить вычисление.
$\displaystyle R=C_n^k= \frac{n!}{k!(n-k)!} = \frac{k!(k+1)(k+2)...(n-1)n}{k!(n-k)!}= \\ \frac{(k+1)(k+2)...(n-1)n}{1\cdot2\cdot...\cdot(n-k)}=\prod_{i=1}^{n-k} \frac{k+i}{i}$

Но это было вычисление R только для конкретного k при заданном n.
Нам же нужно найти сумму R для всех k от 2 до n. И да, для k=n формула не предназначена, но зато мы и так понимаем, что для такого случая R=1.

Задача свелась к нахождению обычной суммы
$\displaystyle S=C_2^n+C_3^n+...+C_{n-1}^n+1=1+\sum_{i=2}^{n-1}C_i^n$

// PascalABC.NET 3.2, сборка 1370 от 24.12.2016
// Внимание! Если программа не работает, обновите версию!

function C(n,k:integer):integer;
begin
  if n=k then Result:=1
  else begin
    var p:=1.0;
    for var i:=1 to n-k do p:=p*(k+i)/i;
    Result:=Round(p);
    end;
end;

begin
  var n:=ReadInteger('Кол-во продуктов: ');
  var s:=1;
  for var i:=2 to n-1 do s:=s+C(n,i);
  Writeln('Кол-во салатов: ',s)
end.

Примеры:
Кол-во продуктов:  3
Кол-во салатов: 4

Кол-во продуктов:  5
Кол-во салатов: 26

Кол-во продуктов:  10
Кол-во салатов: 1013