Такое значение S — 30. При S = 30 Петя своим первым ходом может получить одну из четырёх позиций: (7, 31), (8, 30), (14, 30), (7, 60).
В позиции (7, 60) Ваня удваивает количество камней во второй куче и выигрывает своим первым ходом.
Из позиций (14, 30) и (7, 31) Ваня может получить позицию (14, 31). В этом случае после второго хода Пети может возникнуть одна из четырёх позиций: (15, 31), (14, 32), (28, 31), (14, 62). Во всех случаях Ваня удваивает количество камней во второй куче и выигрывает своим вторым ходом.
Из позиции (8, 30) Ваня своим первым ходом может получить позицию (16, 30). После второго хода Пети может возникнуть одна из четырёх позиций: (17, 30), (16, 31), (32, 30), (16, 60). Во всех случаях Ваня удваивает количество камней во второй куче и выигрывает своим вторым ходом.
Таким образом, ответ — 30.
ответ: 30.
Примечание. Докажем, что при S ≤ 29 либо выигрывает Петя своим первым или вторым ходом, либо игра не завершится за 4 хода.
При S ≤ 7 Петя своим первым ходом может добавить в большую кучу один камень. Тогда, даже если изначально S = 7, наибольшее количество камней, которое можно получить суммарно в обеих кучах за 4 хода, каждый раз удваивая большую кучу, равняется 71.
При 8 ≤ S ≤ 16 Петя может выбрать такую стратегию, которая не позволит победить Ване за один или два хода. Для этого Петя каждый ход может прибавлять к первой куче один камень. При этом наибольшее суммарное количество камней в обеих кучах, которое можно получить за 4 хода, равно 9 + 64 = 73.
При S = 17. Петя первым ходом может получить позицию (7, 18). Из этой позиции Ваня может получит позиции (8, 18), (7, 19), (14, 18) и (7, 36). В позиции (7, 36) Петя выигрывает своим вторым ходом. В остальных позициях у Пети есть стратегия, которая позволяет ему получить позиции, из которых Ваня не сможет выиграть своим вторым ходом.
При 18 ≤ S ≤ 29 Петя может получить позицию (8, S). В этой позиции Петя либо выигрывает своим вторым ходом, либо у него есть стратегия, которая позволяет ему получить позиции, в которых Ваня не может выиграть своим первым или вторым ходом.
1024 -2=1022
ответ 1022