Question

Решить ! ! мистер фокс записал выражение: 2⋅(2⋅(2⋅(…2⋅(2+1)…)+1)+1)+1, в котором 2017 двоек, вычислил его, результат перевел в двоичную систему счисления. затем он подсчитал количество единиц в получившемся двоичном числе. что у него получилось? комментарий. если бы он использовал три двойки, то выражение выглядело бы так: 2⋅(2⋅(2+1)+1)+1.

Answer 1

Расуждаем так. Обозначим n - количество использованных двоек. Если бы мистер Фокс использовал n=1 двойку, то получил бы число 3. При n=2 получаем 7, и т.д. Запишем в столбик:

$n=1\ \ \ a_{1}=3$

$n=2\ \ \ a_{2}=2a_{1}+1=7$

$n=3\ \ \ a_{3}=2a_{2}+1=15$

$n=4\ \ \ a_{4}=2a_{3}+1=31$

Замечаем, что

$3=4-1=2^{2}-1=2^{n+1}-1$

$7=8-1=2^{3}-1=2^{n+1}-1$

$15=16-1=2^{4}-1=2^{n+1}-1$

$31=32-1=2^{5}-1=2^{n+1}-1$

То есть при n=2017 выражение будет равно  $2^{n+1}-1=2^{2018}-1$

В двоичном виде число $2^{2018}$ - это единица и 2018 нулей. Если вычесть из такого числа единицу, получим число, состоящее из 2018 единиц.

ответ: 2018