Question

Необходимо решить тригонометрическое уравнение: ​

Answer 1

Решим данное уравнение методом разложения на множители

$2\cos^2x-\sin x\cos x-3\cos x+\sin x+1=0\\ \\ \Big(\sin x-\sin x\cos x\Big)+2\cos^2x-3\cos x+1=0\\ \\ \sin x(1-\cos x)+2\cos^2x-\cos x-2\cos x+1=0\\ \\ \sin x(1-\cos x)-2\cos x(1-\cos x)+1-\cos x=0\\ \\ \sin x(1-\cos x)+(1-\cos x)(1-2\cos x)=0\\ \\ (1-\cos x)(\sin x+1-2\cos x)=0$

Произведение равно нулю в том случае, когда хотя бы один из множителей обращается к нулю

$1-\cos x=0\\ \\ \cos x=1~~~~\Rightarrow~~~ \boxed{x_1=2\pi n,n \in \mathbb{Z}}$

$\sin x+1-2\cos x=0\\ \\ \sin x-2\cos x=-1$

По формуле содержащего дополнительного угла

$a\sin (kx)\pm b\cos (kx)=\sqrt{a^2+b^2}\sin \left(kx\pm\arcsin\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\right)$, получим

$\sqrt{1^2+2^2}\sin\left(x-\arcsin\frac{2}{\sqrt{1^2+2^2}}\right)=-1\\ \\ \sqrt{5}\sin \left(x-\arcsin\frac{2}{\sqrt{5}}\right)=-1\\ \\ \sin \left(x-\arcsin\frac{2}{\sqrt{5}}\right)=-\frac{1}{\sqrt{5}}\\ \\ x-\arcsin\frac{2}{\sqrt{5}}=(-1)^{k+1}\cdot \arcsin\frac{1}{\sqrt{5}}+\pi k,k \in \mathbb{Z}\\ \\ \boxed{x_2=(-1)^{k+1}\cdot \arcsin\frac{1}{\sqrt{5}}+\arcsin\frac{2}{\sqrt{5}}+\pi k,k \in \mathbb{Z}}$

Answer 2

ответ: во вложении Пошаговое объяснение: