Question

Про натуральные числа a и b известно, что 15a=14b и (a, b) =13. найдите a и b.

Answer 1

Чтобы решить эту задачу, мы будем использовать два основных свойства чисел: свойство делимости и свойство наибольшего общего делителя (НОД).

Первое, что мы можем заметить, это то, что уравнение 15a = 14b можно переписать в виде: 15a / 14 = b. Это означает, что b является результатом деления 15a на 14.

Теперь мы можем воспользоваться свойством делимости: если число делится одновременно на 15 и на 14, то оно будет делиться также на их наибольший общий делитель (НОД). В данном случае, НОД(15, 14) = 1, так как 15 и 14 не имеют общих делителей, кроме 1.

Значит, b должно быть кратно НОДу чисел 15 и 14, то есть 1. То есть, b = 1 * k, где k - некоторое целое число.

Теперь мы можем заметить, что (a, b) = 13. Это означает, что a и b имеют общий делитель 13.

Мы уже знаем, что b = 1 * k. Значит, b делится на 13, то есть b = 13 * m, где m - некоторое целое число.

Теперь мы можем заменить b в исходном уравнении: 15a = 14b. Получаем: 15a = 14 * (13 * m). Раскрываем скобки: 15a = 14 * 13 * m. Упрощаем выражение: 15a = 182m.

Мы видим, что a должно делиться на 182m. Значит, a = 182 * n, где n - некоторое целое число.

Таким образом, мы получили, что a = 182 * n, b = 13 * m, где n и m - целые числа.

Осталось учесть, что (a, b) = 13. Значит, НОД(182 * n, 13 * m) = 13.

Мы знаем, что НОД(182 * n, 13 * m) = НОД(182, 13) * НОД(n, m) = 13 * НОД(n, m) = 13.

Отсюда следует, что НОД(n, m) = 1.

Таким образом, возможны следующие варианты значений n и m:

1) n = 1, m = 1. Тогда получим a = 182, b = 13.
2) n = 13, m = 13. Тогда получим a = 182 * 13 = 2366, b = 13 * 13 = 169.

Итак, мы получили два возможных решения: (a, b) = (182, 13) и (a, b) = (2366, 169).