Question

Вычислить: cos⁡(α+β) ,если tg⁡α=-24/7; tg⁡β=15/8
π/2

Answer 1

Для решения этой задачи нам понадобится знание о тригонометрических функциях и их связи между собой.

Дано:
tg⁡α=-24/7 и tg⁡β=15/8

Тригонометрические функции можно выразить через друг друга следующим образом:

1. cos⁡α = 1/√(1 + tg^2α)
2. sin⁡α = tg⁡α * cos⁡α

Аналогично, можно выразить тригонометрические функции для угла β:
1. cos⁡β = 1/√(1 + tg^2β)
2. sin⁡β = tg⁡β * cos⁡β

Давайте рассчитаем значений sin⁡α, cos⁡α, sin⁡β и cos⁡β по заданным значениям tg⁡α и tg⁡β.

cos⁡α = 1/√(1 + (-24/7)^2)
sin⁡α = (-24/7) * (1/√(1 + (-24/7)^2))

cos⁡β = 1/√(1 + (15/8)^2)
sin⁡β = (15/8) * (1/√(1 + (15/8)^2))

Теперь, чтобы найти cos⁡(α+β), нам нужно использовать формулу для вычисления косинуса суммы углов:

cos⁡(α+β) = cos⁡α * cos⁡β - sin⁡α * sin⁡β

Подставим значения sin⁡α, cos⁡α, sin⁡β и cos⁡β в эту формулу:

cos⁡(α+β) = [1/√(1 + (-24/7)^2)] * [1/√(1 + (15/8)^2)] - [(-24/7) * (1/√(1 + (-24/7)^2))] * [(15/8) * (1/√(1 + (15/8)^2))]

Решим это уравнение по шагам:

1. Вычисляем значения (-24/7)^2 и (15/8)^2:
(-24/7)^2 = 576/49
(15/8)^2 = 225/64

2. Подставляем полученные значения в формулу:
cos⁡(α+β) = [1/√(1 + 576/49)] * [1/√(1 + 225/64)] - [(-24/7) * (1/√(1 + 576/49))] * [(15/8) * (1/√(1 + 225/64))]

3. Находим знаменатели под корнями:
1 + 576/49 = 625/49
1 + 225/64 = 289/64

4. Вынесем знаменатели из-под корней за пределы дробей и упростим выражение:
cos⁡(α+β) = [7√49/√625] * [8√64/√289] - [(-24/7) * 7√49/√625] * [(15/8) * 8√64/√289]
= [7/25] * [8/17] - [-24/35] * [15/17]
= (56/425) + (360/425)
= 416/425

Ответ: cos⁡(α+β) ≈ 0.979

Таким образом, значение cos⁡(α+β) примерно равно 0.979.