Question

Составить уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности z=(x,y)
в точке mo(xo,yo,zo)


x^2+y^2-z^2 = -1 , mo(2; 2; 3)

Answer 1

Для составления уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности, вам следует выполнить следующие шаги:

Шаг 1: Найти частные производные функции z=(x,y) и записать их как dx и dy.
Для данной поверхности z=(x,y), функцией является сама поверхность, поэтому dx и dy будут равны единице.

Шаг 2: Найти нормальную векторную функцию к поверхности.
Для этого возьмем вектор из частных производных dx и dy:
N = (dx, dy) = (1, 1)

Шаг 3: Найти значение z в точке mo(xo, yo, zo).
Для данной задачи, значение z в точке mo(2, 2, 3) равно 3.

Шаг 4: Найти уравнение касательной плоскости.
Уравнение касательной плоскости имеет вид:
Nx(x - xo) + Ny(y - yo) + Nz(z - zo) = 0

Подставим значения вектора N, координат точки mo и значение z в данное уравнение:
(1)(x - 2) + (1)(y - 2) + (1)(z - 3) = 0
(x - 2) + (y - 2) + (z - 3) = 0
x + y + z - 7 = 0

Полученное уравнение x + y + z - 7 = 0 является уравнением касательной плоскости к поверхности z=(x,y) в точке mo(2, 2, 3).

Шаг 5: Найти уравнение нормали.
Уравнение нормали получается из уравнения касательной плоскости, заменой знака равенства на знак минус:
-(x + y + z - 7) = 0
-x - y - z + 7 = 0

Полученное уравнение -x - y - z + 7 = 0 является уравнением нормали к поверхности z=(x,y) в точке mo(2, 2, 3).

Итак, уравнение касательной плоскости к поверхности z=(x,y) в точке mo(2, 2, 3) имеет вид x + y + z - 7 = 0, а уравнение нормали -x - y - z + 7 = 0.