Question

Площадь треугольника s = 1,5 кв. ед., две его вершины суть точки а (2; -3) и в(3; -2); центр тяжести этого треугольника лежит на прямой зх - у - 8 = 0. определить координаты третьей вершины с.
. ​

Answer 1

Чтобы решить эту задачу, нам понадобится использовать несколько формул и свойств треугольников. Давайте начнем с начала.

Дано треугольник с площадью 1,5 кв. ед. и двумя известными вершинами a(2, -3) и b(3, -2). Нам нужно найти координаты третьей вершины с.

Шаг 1: Найдите длины сторон треугольника
Используя формулу расстояния между двумя точками в декартовой системе координат, мы можем найти длину сторон треугольника ab и ac.

Длина стороны ab:
d_ab = √[(x_b - x_a)^2 + (y_b - y_a)^2]
= √[(3 - 2)^2 + (-2 - (-3))^2]
= √[1^2 + 1^2]
= √2

Длина стороны ac:
d_ac = √[(x_c - x_a)^2 + (y_c - y_a)^2]
= √[(x_c - 2)^2 + (y_c - (-3))^2]

Шаг 2: Найдите площадь треугольника
Для нахождения площади треугольника можно воспользоваться формулой полупериметра треугольника:

p = (d_ab + d_bc + d_ca)/2

где d_bc и d_ca - неизвестные стороны треугольника.

Используя площадь и полупериметр, мы можем найти высоту треугольника по формуле:

h = (2/Area) * (Sqrt(p*(p - d_ab)*(p - d_bc)*(p - d_ca)))

где p = (d_ab + d_bc + d_ca)/2.

Мы знаем площадь треугольника: S = 1,5 кв.ед., а d_ab уже рассчитали в шаге 1. Теперь мы можем рассчитать полупериметр p:

p = (d_ab + d_bc + d_ca)/2
= (√2 + d_bc + d_ca)/2

Подставляя p в формулу высоты, получим:

h = (2/Area) * (Sqrt(p*(p - d_ab)*(p - d_bc)*(p - d_ca)))
= (2/1,5) * (Sqrt(((√2 + d_bc + d_ca)/2)*(((√2 + d_bc + d_ca)/2) - √2)*(((√2 + d_bc + d_ca)/2) - d_bc)*(((√2 + d_bc + d_ca)/2) - d_ca)))

Шаг 3: Найдите координаты третьей вершины с
У нас есть условие, что центр тяжести треугольника лежит на прямой zx - у - 8 = 0. Это означает, что сумма координат x и y для всех вершин треугольника делится на 8:

(x_a + x_b + x_c)/3 = 8
(x_a + 3 + x_c)/3 = 8
(2 + 3 + x_c)/3 = 8

(y_a + y_b + y_c)/3 = 8
(-3 + (-2) + y_c)/3 = 8
(-5 + y_c)/3 = 8

Теперь у нас есть система уравнений с двумя неизвестными x_c и y_c. Решим эту систему уравнений и найдем значения x_c и y_c.

(2 + 3 + x_c)/3 = 8
5 + x_c = 24
x_c = 19

(-5 + y_c)/3 = 8
-5 + y_c = 24
y_c = 29

Таким образом, третья вершина с треугольника имеет координаты с(19, 29).