График прямой пропорциональности 11. Область определения этой функции – множество всех чисел.
2. Найдем некоторые соответственные значения переменных х и у.
Если х = -4, то у = -2.
Если х = -3, то у = -1,5.
Если х = -2, то у = -1.
Если х = -1, то у = -0,5.
Если х = 0, то у = 0.
Если х = 1, то у = 0,5.
Если х = 2, то у = 1.
Если х = 3, то у = 1,5.
Если х = 4, то у = 2.
3. Отметим в координатной плоскости точки, координаты которых мы определили в пункте 2. Отметим, что построенные точки принадлежат некоторой прямой.
4. Определим, принадлежат ли этой прямой другие точки графика функции. Для этого найдем координаты еще нескольких точек графика.
Если х = -3,5, то у = -1,75.
Если х = -2,5, то у = -1,25.
Если х = -1,5, то у = -0,75.
Если х = -0,5, то у = -0,25.
Если х = 0,5, то у = 0,25.
Если х = 1,5, то у = 0,75.
Если х = 2,5, то у = 1,25.
Если х = 3,5, то у = 1,75.
Построив новые точки графика функции, замечаем, что они принадлежат той же прямой.
Если мы будем уменьшать шаг наших значений (брать, например, значения х через 0,1; через 0,01 и т. д.), мы будем получать другие точки графика, принадлежащие той же прямой и расположенные все более близко друг от драга. Множество всех точек графика данной функции есть прямая линия, проходящая через начало координат.
Т. о., график функции, заданной формулой у = kх, где k ≠ 0, есть прямая, проходящая через начало координат.
Если область определения функции, заданной формулой у = kх, где k ≠ 0, состоит не из всех чисел, то ее графиком служит подмножество точек прямой (например, луч, отрезок, отдельные точки).
Для построения прямой достаточно знать положение двух ее точек. Поэтому график прямой пропорциональности, заданной на множестве всех чисел, можно строить по любым двум его точкам (в качестве одной из них удобно брать начало координат).
Пусть, например, требуется построить график функции, заданной формулой у = -1,5х. Выберем какое-либо значение х, не равное 0, и вычислим соответствующее значение у.
Если х = 2, то у = -3.
Отметим на координатной плоскости точку с координатами (2; -3). Через эту точку и начало координат проведем прямую. Эта прямая – искомый график.
Основываясь на данном примере, можно доказать, что График прямой пропорциональности 2всякая прямая, проходящая через начало координат и не совпадающая с осями, является графиком прямой пропорциональности.
Доказательство.
Пусть дана некоторая прямая, проходящая через начало координат и не совпадающая с осями. Возьмем на ней точку с абсциссой 1. Обозначим ординату этой точки через k. Очевидно, что k ≠ 0. Докажем, что данная прямая является графиком прямой пропорциональности с коэффициентом k.
Действительно, из формулы у = kх следует, что если х = 0, то у = 0, если х = 1, то у = k, т. е. график функции, заданной формулой у = kх, где k ≠ 0, есть прямая, проходящая через точки (0; 0) и (1; k).
Т. к. через две точки можно провести только одну прямую, то данная прямая совпадает с графиком функции, заданной формулой у = kх,
Пошаговое объяснение:
Даны координаты вершин тетраэдра АВСD :
A(0, 0, 0), B(1, 1, 1) , C(1, 2, 3, D(1, 3, 6).
А) Площадь основания АВС.
Находим векторы АВ и АС.
АВ = (1; 1; 1), АС = (1; 2; 3).
Их векторное произведение равно.
i j k | i j
1 1 1 | 1 1
1 2 3 | 1 2 = 3i + 1j + 2k - 3j - 2i - 1k = 1i - 2j + 1k.
Нормальный вектор к плоскости АВС равен (1; -2; 1).
Площадь АВС равна половине модуля векторного произведения:
S = (1/2)*√(1 + 4 + 1) = √6/2 ≈ 1,225.
Б) Уравнение высоты тетраэдра DК.
Её направляющий вектор найден - он равен нормальному вектору плоскости АВС(1; -2; 1).
Используем координаты точки D.
Уравнение прямой DК: (x – 1)/1 = (y – 3)/(-2) = (z – 6)/1.
В) Уравнение прямой, проходящей через точку С параллельно DК.
Её направляющий вектор найден равен направляющему вектору высоты DК.
Осталось подставить координаты точки С.
Уравнение прямой СР: (x – 1)/1 = (y – 2)/(-2) = (z – 3)/1.
Г) Расстояние от точки С до грани ABD.
Пусть точка М – проекция точки С на плоскость ABD.
Находим векторы АВ и АD.
АВ = (1; 1; 1), АD = (1; 3; 6).
Их векторное произведение равно.
i j k | i j
1 1 1 | 1 1
1 3 6 | 1 3 = 6i + 1j + 3k - 6j - 3i - 1k = 3i - 5j + 2k.
Площадь грани ABD равна половине модуля полученного векторного произведения.
S(ABD) = (1/2)*√(9 + 25 + 4) = (1/2)√38.
Полученный вектор (3; -5; 2) – это вектор нормали к плоскости АВD, то есть высоты СМ.
Получаем уравнение высоты СМ: (x – 1)/3 = (y – 2)/(-5) = (z – 3)/2.
Находим объём пирамиды как (1/6) модуля смешанного произведения векторов АВ и АС (1; -2; 1) на AD (1; 3; 6)..
V = (1/6)*(1 –6 + 6) = (1/6) куб.ед.
Тогда длина высоты СМ равна:
h(CM) = 3V/S(ABD) = (3*(1/6))/( (1/2)√38) =1/√38 = √38/38 ≈ 0,162.
Д) Уравнение плоскости, проходящей через точки В и С перпендикулярно плоскости АВС.
Если через точки В и С провести прямые с направляющим вектором как у высоты DK, то получим 2 параллельные прямые, перпендикулярные плоскости АВС.
Одна прямая уже известна – это СР: (x – 1)/1 = (y – 2)/(-2) = (z – 3)/1.
Аналогична прямая через точку В – это ВТ: (x – 1)/1 = (y – 1)/(-2) = (z – 1)/1.
Найдём точку на прямой СР. Для этого уравнение прямой представим в параметрическом виде.
СР: (x – 1)/1 = (y – 2)/(-2) = (z – 3)/1 = t.
x = t + 1,
y = -2t + 2,
z = t + 3.
Примем t = 1, тогда x = 2, y = 0, z = 4. Пусть это координаты точки Р.
Имеем 3 точки В, С, и Р, через которые проведём искомую плоскость.
x – x1 y – y1 z – z1
x2 – x1 y2 – y1 z2 – z1
x3 – x1 y3 – y1 z2 – z1.
Подставим координаты точек.
x -1 y – 1 z – 1 | x – 1 y – 1
1 – 1 2 – 1 3 – 1 | 1 – 1 2 – 1
2 – 1 0 – 1 4 – 1 | 2 – 1 0 – 1
x -1 y – 1 z – 1 | x – 1 y – 1
0 1 2 | 0 1
1 – 1 3 | 1 – 1 =
= 3(x – 1) + 2(y – 1) – 0 – 0 + 2(x – 1) – 1(z – 1) = 3x – 3 + 2y – 2 + 2x – 2 – 1z + 1 =
= 5x + 2y - 1z – 6=0.
Е) Длина ребра BD.
Вектор BD = (0; 2; 5). Его модуль (длина) равен √(0² + 2² + 5²) = √29 ≈ 5,385.
Ж) Объём пирамиды найден в пункте В.
V = (1/6) куб.ед.
З) Угол при вершине С грани BCD.
Находим векторы:
СВ = (0; -1; -2), модуль равен √(0² + (-1)² + (-2)²) = √5.
CD = (0; 1; 3), модуль равен √(0² + 1² + 3²) = √10.
Их скалярное произведение равно:
СВ х CD = 0 – 1 – 6 = -7.
cos C = -7/(√5*√10) = -7/√50 ≈ -0,989949.
Угол С равен arc cos (-0,989949) = 2,999696 радиан или 171,8699 градуса.
И) Угол между ребром CD и плоскостью АВС.
Вектор CD = (0; 1; 3), нормальный вектор к плоскости АВС равен (1; -2; 1) (найдены ранее).
угол между этой прямой и плоскостью
sin φ = | A • l + B • m + C • n |
√(A² + B² + C²) • √(l² + m² + n²)
Направляющий вектор прямой имеет вид: s = {l; m; n}.
Вектор нормали плоскости имеет вид: Ax + By + Cz + D = 0.
sin φ = (1*0 – 2*1 + 1*3)/( √6*√10) = 1/√60 ≈ 0,129.
φ = arc sin (1/√60) = 0,129 радиан или 7,418 градуса.