Question

Вразных городах мира есть три тайных агента. нужно осуществить их ротацию, так, чтобы каждый из них сменил свою дислокацию. сколькими это можно сделать? (можно перебором, это очевидно: 231, 312. всего в разных городах есть 4 тайных агента. нужно осуществить их ротацию, так, чтобы каждый из них сменил дислокацию. сколькими это можно сделать? (можно перебором, это очевидно: 2143, 2341, 2413, 3142, 3412, 3421, 4123, 4312, 4321. всего в разных городах есть 5 тайных агентов. нужно осуществить такую ротацию, чтобы каждый сменил дислокацию. сколькими это можно сделать?

решить эту для 6 и 7 тайных агентов. решить ту же для n.

*** нужны решения для 5, 6, 7 и n.
*** для 5 перебором получается вроде бы: 44.

Answer 1

Можно рассмотреть сразу для n, так для любых других будет понятно

Пусть имеется позиций

12345n

1)Рассмотрим число вариантов для которых число 1 лежит на первой позиции это всего (n-1)! (потому что при фиксации 1-цы остальные будут «перетасовываться») аналогично и для остальных 2,3,4,...n то есть всего n*(n-1)!=n!

2) Рассмотрим случай когда будут ПО ДВА числа при их соответсвующие позициях к примеру (12)4579...n зафиксировав положение (12) и учитывая перемещение остальных получаем (n-2)! но всего таких вариантов C 2 n = n!/(2!*(n-2)!) тогда всего вариантов n!/2!

3) Аналогично и для всех остальных случаев для 3,4,...n

К примеру для 3-х фиксированных положений (123)...n

(n-3)!*n!/(3!*(n-3)!) = n!/3!

Так как нужно найти то положение в котором вышеперечисленные элементы НЕ ВХОДЯТ то используя формулы «включения и исключения» выходит

S=n!*(1-1+1/2!-1/3!+1/4!+...+(-1)^(n)/n!)

Проверим для n=5

S=5!*(1-1+1/2-1/6+1/24-1/120)=44