Question

2cos^3x-√2cosx+sin^2x=0 на отрезке [5π/2, 4π]

Answer 1

Давайте разберемся с этим уравнением шаг за шагом.

1. Начнем с уравнения 2cos^3x-√2cosx+sin^2x=0.

2. Приведем это уравнение к более удобному виду. Заменим sin^2x на 1-cos^2x, чтобы получить уравнение только с использованием cosx:
2cos^3x-√2cosx+1-cos^2x=0.

3. Объединим все члены с cosx:
2cos^3x-cos^2x-√2cosx+1=0.

4. Перегруппируем члены уравнения:
2cos^3x-cos^2x-√2cosx+1=0.

5. Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
2cos^3x-√2cosx-cos^2x+1=0.

6. Приведемся к термину и упростим уравнение:
2cos^3x-√2cosx-cos^2x+1=0.
2cos^3x-cos^2x-√2cosx+1=0.

7. Решим уравнение с использованием подходящего метода. В данном случае, лучшим методом будет факторизация.

Факторизуем уравнение:
(cosx-1)(2cos^2x+cosx-1)=0.

Теперь у нас есть два возможных равенства:
1) cosx-1=0.
2) 2cos^2x+cosx-1=0.

Решим первое равенство:
cosx-1=0.
cosx=1.
x=0.

Решим второе равенство:
2cos^2x+cosx-1=0.

Для решения этого квадратного уравнения, воспользуемся формулой дискриминанта:
D = b^2 - 4ac,

где а=2, b=1, и с=-1.

D = (1)^2 - 4(2)(-1) = 1 + 8 = 9.

Так как D>0, у нас есть два корня.

x = (-b ± √D) / (2a).
x = (-1 ± √9) / (2*2).
x = (-1 ± 3) / 4.

Первый случай:
x = (2) / 4 = 1/2.

Второй случай:
x = (-4) / 4 = -1.

Таким образом, мы нашли три решения уравнения: x = 0, x = 1/2, и x = -1.

8. Проверим, лежат ли все найденные значения в отрезке [5π/2, 4π].

Для x = 0: 5π/2 ≤ 0 ≤ 4π — нет, не лежит в отрезке.

Для x = 1/2: 5π/2 ≤ 1/2 ≤ 4π — нет, не лежит в отрезке.

Для x = -1: 5π/2 ≤ -1 ≤ 4π — да, лежит в отрезке.

Таким образом, единственным решением уравнения 2cos^3x-√2cosx+sin^2x=0 на отрезке [5π/2, 4π] является x = -1.