Question

70 ‼️
это высшая 1
на первом фото найти площади фигур, а на втором объём

Answer 1

10.91. Сверху фигура ограничена параболой, снизу осью OX. Пределами интегрирования будут абсциссы точек пересечения графиков.

$-x^2+3x-2=0\\x^2-3x+2=0\\D=9-4\cdot1\cdot2=9-8=1\\x_{1,2}=\frac{3\pm1}2\\x_1=1,\;x_2=2$

$S=\int\limits_1^2(-x^2+3x-2-0)dx=\left.\left(-\frac{x^3}3+\frac{3x^2}2-2x\right)\right|_1^2=\\\\=-\frac83+\frac{12}2-4+\frac13-\frac32+2=-\frac73+\frac92-2=\frac16$

10.91. На отрезке [0; π] значения синуса положительны. Значит сверху фигура ограничена синусоидой, снизу - осью OX. Пределы интегрирования даны.

$S=\int\limits_0^\pi(\sin x-0)dx=\left.-\cos x\right|_0^\pi=-\cos\pi+\cos0=1+1=2$

10.92. Сверху тангенсоида, справа x = π/3, слева 0.

$S=\int\limits_0^{\frac\pi3}(tg x-0)dx=\left.-\ln|\cos x|\right|_0^{\frac\pi3}=-\ln\frac{\sqrt3}2+\ln1=\ln\frac2{\sqrt3}$

10.115. Сверху парабола, снизу ось OX. Пределы интегрирования:

$4x-x^2=0\\x(4-x)=0\\x_1=0,\;x_2=4$

$V=\pi\int\limits_0^4(4x-x^2)^2dx=\pi\int\limits_0^4(x^4-8x^3+16x^2)dx=\pi\cdot\left.\left(\frac{x^5}5-2x^4+\frac{16x^3}3\right)\right|_0^4=\\\\=\pi\cdot\left(\frac{1024}5-512+\frac{1024}3-0\right)=\frac{512\pi}{15}$

10.116. Сверху синусоида, снизу OX, пределы даны.

$V=\pi\int\limits_0^\pi\left(\sin\frac x2-0\right)dx=\pi\cdot\left.(-2\cos\frac x2)\right|_0^\pi=-2\pi\cdot\left(-1-1\right)=4\pi$

10.117. Найдём пределы интегрирования:

$x^2=\sqrt x\\x^4=x\\x^4-x=0\\x(x^3-1)=0\\x_1=0,\;x_2=1$

$V=\pi\int\limits_0^1\left(\sqrt x-x^2\right)dx=\pi\cdot\left.\left(\frac23x\sqrt x-\frac{x^3}3\right)\right|_0^1=\pi\cdot\left(\frac23-\frac13-0\right)=\frac\pi3$