Question

Решите
найти производные y'x от следующих функций заданных в неявном виде
хоть что-то

Answer 1

$1048. \ x^2+2xy-y^2=2x; \\ 2x+2y+2xy'-2yy'=2\Rightarrow x+y+xy'-yy'=1 \\ y'(x-y)=1-x-y \Rightarrow y'=\dfrac{1-x-y}{x-y} \\ y'(2;4)=\dfrac{1-2-4}{2-4}=\dfrac{-5}{-2}=2\dfrac{1}{2} \\ y'(2;0)=\dfrac{1-2-0}{2-0} =\dfrac{-1}{2}=-\dfrac{1}{2}$

$1049. \ y^2=2px; \ 2yy'=2p \Rightarrow y'=\dfrac{2p}{2y}=\dfrac{p}{y}$

$\displaystyle 1050. \ \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1; \frac{2x}{a^2}+\frac{2yy'}{b^2}=0 \Rightarrow \frac{yy'}{b^2}=-\frac{x}{a^2}\Rightarrow y'=-\frac{b^2}{a^2} \cdot \frac{x}{y}$

$\displaystyle 1051. \ \sqrt{x} +\sqrt{y} = \sqrt{a}; \ \frac{1}{2\sqrt{x}}+\frac{y'}{2\sqrt{y}}=0 \Rightarrow \frac{y'}{\sqrt{y}}=-\frac{1}{\sqrt{x}} \Rightarrow y'=-\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{x}}$

$\displaystyle 1052. \ x^{\frac{2}{3}}+y^{\frac{2}{3}}=a^{\frac{2}{3}}; \ \frac{2}{3}x^{-\frac{1}{3}} +\frac{2}{3}y^{-\frac{1}{3}}y'=0 \Rightarrow y^{-\frac{1}{3}}y'=-x^{-\frac{1}{3}}\Rightarrow y'=-\frac{x^{-\frac{1}{3}}}{y^{-\frac{1}{3}}} \\ y'=-\frac{y^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{1}{3}}}=-\sqrt[3]{\frac{y}{x} }$

$\displaystyle 1053. \ arctg\frac{y}{x} =ln\sqrt{x^2+y^2};\ \frac{1}{1+\left( \frac{y}{x} \right)^2} \cdot \frac{y'x-y}{x^2}=\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}\cdot \frac{(2x+2yy')}{2\sqrt{x^2+y^2}}\\ \frac{y'x-y}{x^2+y^2}=\frac{x+yy'}{x^2+y^2} \Rightarrow y'x-y=x+yy'\Rightarrow y'(x-y)=x+y \Rightarrow y'=\frac{x+y}{x-y}$

То есть работаем как с обычными функциями и все правила дифференцирования работают. Только учитываем, что

$(f(y))'=f'_y\cdot y'$