Хорошо, давайте разберемся с вопросом и найдем производную сложной функции y = 4^x + cos(x).
Для начала, чтобы найти производную сложной функции, нам понадобятся следующие два правила дифференцирования:
1. Правило дифференцирования сложной функции (Chain Rule):
Если у нас есть функция f(g(x)), то производная этой функции будет равна произведению производной внешней функции (f'(g(x))) и производной внутренней функции (g'(x)): (f(g(x)))' = f'(g(x)) * g'(x).
2. Правило дифференцирования функции вида a^x:
Если у нас есть функция y = a^x, то ее производная будет равна произведению натурального логарифма основания a и самой функции: dy/dx = ln(a) * a^x.
Теперь приступим к решению задачи.
Наша функция y = 4^x + cos(x) состоит из двух слагаемых: первое слагаемое это 4^x, а второе слагаемое это cos(x). Мы можем рассматривать их отдельно, найдя производные каждого слагаемого, и затем сложить полученные производные.
1. Найдем производную первого слагаемого 4^x.
Пользуясь правилом дифференцирования функции вида a^x, мы можем записать:
dy/dx = dy/du * du/dx, где u = 4^x.
Dy/du - производная функции y по переменной u:
Dy/du = ln(4) * 4^x (применяем правило дифференцирования функции вида a^x).
Du/dx - производная переменной u по переменной x, которая равна производной функции 4^x по переменной x.
Du/dx = d(4^x)/dx = ln(4) * 4^x (применяем правило дифференцирования функции вида a^x).
Теперь мы знаем производные каждого слагаемого. Для первого слагаемого, dy/du = ln(4) * 4^x, и для второго слагаемого, dy/dx = ln(4) * 4^x.
2. Найдем производную второго слагаемого cos(x).
Производная функции cos(x) равна -sin(x).
Таким образом, dy/dx = -sin(x).
3. Теперь сложим полученные производные каждого слагаемого:
dy/dx = dy/du * du/dx + dy/dx
dy/dx = ln(4) * 4^x + (-sin(x))
или более компактно записывается:
dy/dx = ln(4) * 4^x - sin(x).
Таким образом, производная сложной функции y = 4^x + cos(x) равна dy/dx = ln(4) * 4^x - sin(x).
Надеюсь, ответ был понятен и дал нужное объяснение и пошаговое решение. Если у вас остались какие-либо вопросы, пожалуйста, обратитесь.
