Question

Является ли данная функция = c1e3х + c1e^-2х решением
дифференциального уравнения у'' - y'-6у = 0​

Answer 1

Найдём первую и вторую производную функции $y(x)$:

$y(x)=c_1e^{3x}+c_2e^{-2x}\\y'(x)=c_1(e^{3x})'+c_2(e^{-2x})'=3c_1e^{3x}-2c_2e^{-2x}\\y''(x)=3c_1(e^{3x})'-2c_2(e^{-2x})'=9c_1e^{3x}+4c_2e^{-2x}$

Подставим теперь данные выражения в дифференциальное уравнение:

$y''(x)-y'(x)-6y(x)=0\\9c_1e^{3x}+4c_2e^{-2x}-(3c_1e^{3x}-2c_2e^{-2x})-6(c_1e^{3x}+c_2e^{-2x})=0\\9c_1e^{3x}+4c_2e^{-2x}-3c_1e^{3x}+2c_2e^{-2x}-6c_1e^{3x}-6c_2e^{-2x}=0\\(9c_1e^{3x}-3c_1e^{3x}-6c_1e^{3x})+(4c_2e^{-2x}+2c_2e^{-2x}-6c_2e^{-2x})=0\\0+0=0$

Получили тождество, а значит, данная функция является общим решением дифф. уравнения.

P. S. На будущее: подстрочный индекс обозначается как a_n, надстрочный  — как a^n. Если в индексе не одна буква/цифра, а несколько (в том числе и минус), то индекс берётся в скобки:

$\displaystyle a_{2n+1} \cdot b^{2k} \cdot d^{-x}=$ a_(2n+1) * b^(2k) * d^(-x)